एनसीईआरटी समाधान कक्षा 8 गणित प्रश्नावली 12.2

यहाँ कुछ सर्वसमिकाएँ दी हुई हैं जो हमें पहले से ज्ञात हैं:
(a + b)² = a² + 2ab + b² (I)
(a – b)² = a² – 2ab + b² (II)
(a + b) (a – b) = a² – b² (III)
निम्नलिखित हल किए उदाहरणों से यह स्पष्ट हो जाएगा कि गुणनखंडन के लिए इन सर्वसमिकाओं का किस प्रकार प्रयोग किया जा सकता है। पहले हम दिए हुए व्यंजक को देखते हैं। यदि यह उपरोक्त सर्वसमिकाओं में से किसी एक के दाएँ पक्ष के रूप का है, तो उस सर्वसमिका के बाएँ पक्ष के संगत व्यंजक से वांछित गुणनखंड प्राप्त हो जाते हैं।

x² + 8x + 16 के गुणनखंड कीजिए।
हल:
इस व्यंजक को देखिए। इसके तीन पद हैं। अतः इसमें सर्वसमिका III का प्रयोग नहीं किया जा सकता है। साथ ही, इसके पहले और तीसरे पद पूर्ण वर्ग हैं तथा बीच वाले पद का चिह्न धनात्मक है। अतः यह a² + 2ab + b²के रूप का है, जहाँ a = x और b = 4 हैं।
इस प्रकार, a² + 2ab + b² = x² + 2 (x) (4) + 4²
= x² + 8x + 16
क्योंकि a² + 2ab + b² = (a + b)²,
तुलना करने पर x² + 8x + 16 = ( x + 4)²

49p² – 36 के गुणनखंड कीजिए।
हल:
यहाँ दो पद हैं। दोनों ही पूर्ण वर्ग हैं तथा दूसरा ऋणात्मक है अर्थात् यह व्यंजक (a² – b²) के रूप का है। यहाँ सर्वसमिका III का प्रयोग किया जाएगा।
49p² – 36 = (7p)² – (6)²
= (7p – 6) (7p + 6) (वांछित गुणनखंड)
(x + a) (x + b) के रूप के गुणनखंड

हम एक चर वाले व्यंजकों, जैसे x² + 5x + 6, y² – 7y + 12, z² – 4z – 12, 3m² + 9m + 6, इत्यादि के गुणनखंड किस प्रकार कर सकते हैं। ध्यान दीजिए कि ये व्यंजक (a + b)² या (a – b)² के प्रकार के नहीं है, अर्थात् ये पूर्ण वर्ग नहीं हैं। उदाहरणार्थ,
x² + 5x + 6 में पद 6 एक पूर्ण वर्ग नहीं है। स्पष्टतः इस प्रकार के व्यंजक (a² – b²) के प्रकार के भी नहीं हैं।
परंतु ये x² + (a + b) x + ab के प्रकार के प्रतीत होते हैं। इसलिए इस प्रकार के गुणनखंड करने के लिए, हम पिछले अध्याय में अध्ययन की गई सर्वसमिका सात का प्रयोग कर सकते हैं। यह सर्वसमिका है:
(x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab (IV)
इसके लिए हमें x के गुणांक और अचर पद को देखना होगा। आइए, निम्नलिखित उदाहरण में देखें कि ऐसा किस प्रकार किया जाता है।

4y² – 12y + 9 के गुणनखंड कीजिए।
हम लिख सकते हैं 4y² = (2y)², 9 = (3)², 12y = 2 × 3 × (2y)
अतः 4y² – 12y + 9 = (2y)² – 2 × 3 × (2y) + (3)²
= (2y – 3)²