एनसीईआरटी समाधान कक्षा 8 गणित प्रश्नावली 11.1

यह दो शब्दों से मिलकर बना होता है, जो कि ‘सम’ और ‘अनुपात’ है, जिसमें ‘सम’ का अर्थ बराबर या समान होता है। दो शब्दों में, दो अनुपातों की बराबरी को समानुपात कहते हैं। जब दो‌ अनुपात एक-दूसरे के बराबर होते हैं, तो उनकी चारों राशियां समानुपाती कहलाती हैं।
हमें अपने दैनिक जीवन में ऐसी अनेक स्थितियों का सामना करना पड़ता है, जहाँ हमें यह देखना आवश्यक हो जाता है कि एक राशि में परिवर्तन होने से दूसरी राशि में भी परिवर्तन हो रहा है।

उदाहरणार्थ:
(i) यदि खरीदी गई वस्तुओं की संख्या में वृद्धि होती है, तो उनके कुल मूल्य में भी वृद्धि होती है।
(ii) बैंक में जितनी धनराशि अधिक जमा की जाएगी, उतना ही ब्याज अधिक अर्जित होगा।
(iii) जब किसी वाहन की चाल में वृद्धि होती है, उसके द्वारा वही दूरी तय करने में लिए गए समय में कमी होती है।
(iv) एक दिए हुए कार्य के लिए, जितने अधिक व्यक्ति कार्य पर लगाए जाएँगे, उतना ही उस कार्य को पूरा करने में कम समय लगेगा।

यदि x ∝ y या x = ky हो, तो हम कहते हैं कि x और y में सीधा या प्रत्यक्ष समानुपात है [अथवा वे अनुक्रमानुपाती हैं]।
इस उदाहरण में, जहाँ 4 और 12 पेट्रोल की खपत की लीटर में मात्राएँ हैं तथा 60 और 180 km में दूरियाँ हैं।
उदाहरण:
यदि 1kg चीनी का मूल्य रु 18 है, तो 3 kg चीनी का मूल्य क्या होगा? यह रु 54 है। इसी प्रकार, हम 5 kg या 8 kg चीनी का मूल्य ज्ञात कर सकते हैं।
ध्यान दीजिए कि जैसे-जैसे चीनी के भार में वृद्धि होती है, वैसे-वैसे उसके मूल्य में भी इस प्रकार से वृद्धि होती है कि इनका अनुपात अचर रहता है।
मान लीजिए कि पेट्रोल की खपत x लीटर है तथा तय की गई संगत दूरी y km है। अब निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए:
पेट्रोल (x) लीटर में – दूरी (y) km में
4 – 60
8 – 120
12 – 180
15 – 225
20 – 300
25 – 375
हम पाते हैं कि जब ग के मान में वृद्धि होती है, तब ल के मान में भी इस प्रकार वृद्धि होती है कि अनुपात x/y में कोई बदलाव नहीं आता है। यह अचर (मान लीजिए श) रहता है। इस स्थिति में, यह 1/15 है।
अतः, जब x और y में प्रत्यक्ष या सीधा अनुपात होता है, तो हम x₁/y₁ = x₂/y₂ लिख सकते हैं।

14 मीटर ऊँचे एक बिजली के खंभे की छाया 10 मीटर है। समान स्थितियों में उस पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसकी छाया 15 मीटर है।
हल:
मान लीजिए कि पेड़ की ऊंचाई x मीटर है। इसके लिए एक सारणी बनाते हैं:
वस्तु की लम्बाई मीटर में छाया की लम्बाई मीटर में
14 10
x 15
ध्यान दीजिए कि वस्तु की ऊँचाई जितनी अधिक होगी, उसकी छाया की लंबाई उतनी ही अधिक होगी। अतः, यह एक प्रत्यक्ष अनुपात की स्थिति है।
अर्थात x₁/y₁ = x₂/y₂ से हमें प्राप्त होता है
14/10 = x/15
या x = (14/10) × 15 = 21
इस प्रकार पेड़ की ऊंचाई 21 मीटर होगी।

यदि मोटे कागज की 12 शीटों का भार 40 ग्राम है, तो ऐसे ही कागज की कितनी शीटों का भार 2(1/2) किलोग्राम होगा?
हल:
मान लीजिए कि उन शीटों की संख्या x है जिनका भार 2(1/2) किलोग्राम है। हम उपरोक्त सूचना को नीचे दर्शाए अनुसार एक सारणी के रूप में लिखते हैं:
शीटों की संख्या शीटों का भार (ग्राम) में
12 40
x 2500
शीटों की संख्या अधिक होगी, तो उनका भार भी उतना ही अधिक होगा। अतः शीटों की संख्या और उनके भार परस्पर अनुक्रमानुपाती हैं।
12/40 = x/2500
या x = (12/40) × 2500
= 750
अतः कागज की शीटों की वांछित संख्या 750 है।