एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित अध्याय 11 विविध प्रश्नावली

रेखा खंड PQ को k: 1 के अनुपात में अंतः विभाजित करने वाले बिंदु R के निर्देशांक k = m/n रखने पर प्राप्त किए जा सकते हैंः
{(kx₂ + x₁)/(k + 1), (ky₂ + y₁)/(m + 1), (kz₂ + z₁)/(k + 1)}
यह परिणाम प्रायः दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा पर व्यापक बिंदु संबंधी प्रश्नों के हल करने में प्रयुक्त होता है।

(i) x-अक्ष पर किसी बिंदु के निर्देशांक (x, 0, 0) हैं।
(ii) y-अक्ष पर किसी बिंदु के निर्देशांक (0, y, 0) हैं।
(iii) z-अक्ष पर किसी बिंदु के निर्देशांक (0, 0, z) हैं।
एक त्रिभुज जिसके शीर्षों के निर्देशांक {(x₁, y₁, z₁), (x₂, y₂, z₂), (x₃, y₃, z₃)} हैं, के केंद्रक के निर्देशांक हैः
{(x₁ + x₂ + x₂)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3, (z₁ + z₂ + z₃)/3}

बिंदुओं (4, 8, 10) और (6, 10, -8) को मिलाने वाले रेखा खंड, YZ-तल द्वारा जिस अनुपात में विभक्त होता है, उसे ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए YZ-तल बिंदु P (x, y, z) पर, A (4, 8, 10) और B (6, 10, -8) को मिलाने वाला रेखा खंड को k: 1 में विभक्त करता है। तो बिंदु P के निर्देशांक हैं:
{(4 + 6k)/(k + 1), (8 + 10k)/(k + 1), (10 – 8k)/(k + 1)}
क्योंकि P, YZ-तल पर स्थित है इसलिए इसका x-निर्देशांक शून्य है।
अतः (4 + 6k)/ (k + 1) = 0
इस प्रकार k = – 4/6 = – 2/3
इसलिए YZ-तल AB को 2: 3 के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है।

उदाहरण:
एक त्रिभुज ABC का केंद्रक (1, 1, 1) है। यदि A और B के निर्देशांक क्रमशः (3, -5, 7) व (-1, 7, -6) हैं। बिंदु C के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना C के निर्देशांक (x, y, z) है और केंद्रक G के निर्देशांक (1, 1, 1) दिए हैं।
इसलिए, (x + 3 – 1)/3 = 1 या x = 1
(Y – 5 + 7)/3= 1 या y = 1
(z + 7 – 6)/3 = 1 या z = 2
अतः C के निर्देशांक (1, 1, 2) हैं।

1. त्रिविमीय ज्यामिति के समकोणिक कार्तीय निर्देशांक निकाय में निर्देशांक्ष तीन परस्पर लंबवत् रेखाएँ होती हैं।
2. निर्देशांक्षों के युग्म, तीन तल निर्धारित करते हैं जिन्हें निर्देशांक्ष तल XY-तल, YZ-तल व ZX-तल कहते हैं।
3. तीन निर्देशांक्ष तल अंतरिक्ष को आठ भागों में बाँटते हैं जिन्हें अष्टांश कहते हैं।
4. त्रिविमीय ज्यामिति में किसी बिंदु च् के निर्देशांकों को सदैव एक त्रिदिक (x, y, z) के रूप में लिखा जाता है। यहाँ x, YZ-तल से, y, ZX-तल से व z, XY-तल से दूरी है।