एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 11.2

मान लीजिए, समकोणिक अक्ष OX, OY तथा OZ के सापेक्ष दो बिंदु P (x₁, y₁, z₁) तथा Q (x₂, y₂, z₂) हैं। P तथा Q बिंदुओं से निर्देशांक तलों के समांतर तल खींचिए, जिससे हमें ऐसा घनाभ मिलता है जिसका विकर्ण PQ है। ∠ PAQ एक समकोण है।
अतः ∆ PAQ में
PQ² = PA² + AQ² … (1)
पुनः क्योंकि ∠ ANQ = एक समकोण, इसलिए ∆ ANQ में,
AQ² = AN² + NQ² … (2)
(1) और (2) से हमें प्राप्त होता है, कि
PQ² = PA² + AN² + NQ²

अब PA = y₂ – y₁, AN = x₂ – x₁ तथा NQ = z₂ – z₁
इस प्रकार PQ² = (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² + (z₂ – z₁)²
अतः PQ = √{(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² + (z₂ – z₁)²}
यह दो बिंदुओं P (x₁, y₁, z₁) और Q (x₂, y₂, z₂) के बीच की दूरी च्फ़ के लिए सूत्र है। विशेषतः यदि x₁ = y₁ = z₁ = 0 अर्थात् बिंदु P, मूल बिंदु O हो तो
OQ = √{(x₂)² + (y₂)² + (z₂)²}
जिससे हमें मूल बिंदु O और किसी बिंदु Q (x₂, y₂, z₂) के बीच की दूरी प्राप्त होती है।

बिंदुओं P (1, -3, 4) और Q (-4, 1, 2) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
PQ बिंदुओं P (1, -3, 4) और Q (- 4, 1, 2) के बीच की दूरी है।
PQ = √{(-4 – 1)² + (1 + 3)² + (2 – 4)²}
= √(25 + 16 + 4)
= 3√5

दर्शाइए कि P (-2, 3, 5), Q (1, 2, 3) और R (7, 0, 1) संरेख हैं।
हल:
हम जानते हैं कि संरेख बिदु, एक ही रेखा पर स्थित होते हैं।
यहाँ PQ = √{(1 + 2)² + (2 – 3)² + (3 – 5)²}
= √(3² + (- 1)² + (– 2)²}
= √14
और QR = √{(7 – 1)² + (0 – 2)² + (-1 – 3)²}
= √(6² + (- 2)² + (– 4)²}
= √(36 + 4 + 16)
= √56
= 2√14
PR = √{(7 + 2)² + (0 – 3)² + (-1 – 5)²}
= √(81 + 9 + 36)
= √126
= 3√14
इस प्रकार PQ + QR = PR
अतः बिंदु P, Q और R संरेख हैं।

क्या बिंदु A (3, 6, 9), B (10, 20, 30) और C (25, – 41, 5) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं?
हल
दूरी-सूत्र से हमें प्राप्त होता है कि
AB² = (10 – 3)² + (20 – 6)² + (30 – 9)²
= 49 + 196 + 441 = 686
BC² = (25 – 10)² + (– 41 – 20)² + (5 – 30)²
= 225 + 3721 + 625 = 4571
CA² = (3 – 25)² + (6 + 41)² + (9 – 5)²
= 484 + 2209 + 16 = 2709
हम पाते हैं कि CA² + AB² ≠ BC²
अतः ∆ ABC एक समकोण त्रिभुज नहीं है।