एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 2.2

किसी बहुपद के शून्यकों और गुणांकों में संबंध को एक उदाहरण के माध्यम से समझने की कोशिश करते हैं।
इसके लिए एक द्विघात बहुपद माना p(x) = 2x² – 8x + 6 लीजिए। यहाँ हमें मध्य पद “- 8x” को दो ऐसे पदों के योग के रूप में विभक्त करना है जिनका गुणनफल 6x × 2x = 12x² हो।

अतः, हम इसको लिख सकते हैंः
2x² – 8x + 6 = 2x² – 2x – 6x + 6
= 2x (x – 1) – 6 (x – 1) = (x – 1) (x – 3)
= 2 (x – 1) (x – 3)

इसलिए, p(x) = 2x² – 8x + 6 का मान x = 1 और x = 3 के लिए शून्य होगा।
अतः कह सकते हैं कि द्विघात बहुपद p(x) = 2x² – 8x + 6 के शून्यंक 1 और 3 हैं।

शून्यंकों का योग
= 1 + 3 = 4 = – (-8)/2
= – (x का गुणांक)/(x² का गुणांक)

शून्यंकों का गुणनफल = 1 × 3 = 3 = 6/2 = (अचर पद)/(x² का गुणांक)
व्यापक रूप में यदि α, β द्विघात बहुपद p(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0 के शून्यक हों तो इसके अनुसार x – α और x – β, p(x) के गुणनखण्ड होंगे।
अतः ax² + bx + c = k (x – α)(x – β), जहाँ k अचर है।
= k [x² – (α + β) x + αβ]
= kx² – k (α + β) x + kαβ
दोनों ओर के x², x के गुणांकों तथा अचर पदों की तुलना करने पर, हम पाते हैं:
a = k, b = – k (α + β) और c = k αβ
इससे प्राप्त होता है α + β = – b/a
और αβ = c/a

अर्थात शून्यको का योग α + β = – b/a = – (x का गुणांक)/ (x² का गुणांक)
शून्यंकों का गुणनफल αβ = c/a = (अचर पद)/(x² का गुणांक)
शून्यको के योग और गुणनफल से द्विघात बहुपद ज्ञात करना

इस विधि को एक उदाहरण के माध्यम से समझते हैं:
उदाहरण
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः – 3 और 2 हैं।
हल:
माना द्विघात बहुपद ax² + bx + c है और इसके शून्यक α, β हैं।
हम पाते हैं α + β = – b/a = – 3
αβ = c/a = 2
यदि a = 1 है तो b = 3 और c = 2 होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद, जिसमें दी गई शर्तें संतुष्ट होती हैं, x² + 3x + 2 है।

पाठ पर आधारित कुछ स्मरणीय तथ्य:

• 1. एक द्विघात बहुपद के अधिक से अधिक दो शून्यक हो सकते हैं और एक त्रिघात बहुपद के अधिक से अधिक तीन शून्यक हो सकते हैं।
• 2. यदि α, β द्विघात बहुपद p(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0 के शून्यक हों तो
  α + β = – b/a
  और αβ = c/a