एनसीईआरटी समाधान कक्षा 8 गणित प्रकाश भाग 2 अध्याय 3 समानुपातिक तर्कण-2

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कक्षा 8 गणित प्रकाश भाग 2 अध्याय 3 का पहला उदाहरण इडली के घोल का है, जहाँ वज्र-गुणन से पता चलता है कि 6 : 3 और 4 : 2 वाले मिश्रण समान हैं। फिर अध्याय मानचित्र के निरूपक भिन्न 1 : 60,00,000 से वास्तविक दूरी निकालना, मसाले और कंक्रीट जैसे कई पदों वाले अनुपात, किसी राशि को दिए गए अनुपात में बाँटना और वृत्त आलेख बनाना सिखाता है। अंत में व्युत्क्रमानुपात है: 80 विद्यार्थियों का 15 दिन का भोजन 100 विद्यार्थियों के लिए 12 दिन ही चलता है। पुरानी पुस्तक में इसे प्रतिलोम समानुपात कहा गया था।
कक्षा 8 गणित प्रकाश भाग 2 के पेज 60 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

उत्तर:
अनुपात के पदों का योग = 3 + 4 + 3 + 5 = 15।
कुल समय = 150 मिनट।
इसलिए 1 भाग का समय = 150 ÷ 15 = 10 मिनट।

वार्मअप या शीतलीकरण का समय = 3 × 10 = 30 मिनट।
बल्लेबाजी का समय = 4 × 10 = 40 मिनट।
गेंदबाजी का समय = 3 × 10 = 30 मिनट।
क्षेत्ररक्षण का समय = 5 × 10 = 50 मिनट।

अतः इन गतिविधियों पर क्रमशः 30 मिनट, 40 मिनट, 30 मिनट और 50 मिनट व्यतीत किए गए।

उत्तर:
उड़िया पुस्तकों के 3 भाग = 288 पुस्तकें।
इसलिए 1 भाग = 288 ÷ 3 = 96 पुस्तकें।

हिंदी पुस्तकों की संख्या = 2 × 96 = 192।
अंग्रेजी पुस्तकों की संख्या = 1 × 96 = 96।
अतः पुस्तकालय में हिंदी की 192 पुस्तकें और अंग्रेजी की 96 पुस्तकें हैं।

उत्तर:
अनुपात के पदों का योग = 4 + 3 + 2 + 1 = 10।
1 भाग में सिक्कों की संख्या = 100 ÷ 10 = 10।

₹10 के सिक्कों की संख्या = 4 × 10 = 40।
इनकी धनराशि = 40 × ₹10 = ₹400।

₹5 के सिक्कों की संख्या = 3 × 10 = 30।
इनकी धनराशि = 30 × ₹5 = ₹150।

₹2 के सिक्कों की संख्या = 2 × 10 = 20।
इनकी धनराशि = 20 × ₹2 = ₹40।

₹1 के सिक्कों की संख्या = 1 × 10 = 10।
इनकी धनराशि = 10 × ₹1 = ₹10।

कुल धनराशि = ₹400 + ₹150 + ₹40 + ₹10 = ₹600।
अतः मेरे पास कुल ₹600 हैं।

उत्तर:
भुजाओं की लंबाइयाँ 3 cm, 4 cm और 5 cm लेते हैं।
इनका अनुपात 3 : 4 : 5 है।

रचना:

1. AB = 4 cm का रेखाखंड खींचेंगे।
2. A को केंद्र और 3 cm को त्रिज्या मानकर एक चाप खींचेंगे।
3. B को केंद्र और 5 cm को त्रिज्या मानकर दूसरा चाप खींचेंगे, जो पहले चाप को C पर काटे।
4. A और B को C से मिलाएँगे।

इस प्रकार त्रिभुज ABC की भुजाएँ AC = 3 cm, AB = 4 cm और BC = 5 cm होंगी।
चित्र में भुजाएँ 3a, 4a और 5a हैं। हमारी रचना के लिए a = 1 cm है।

नहीं, इस अनुपात वाले सभी त्रिभुज सर्वांगसम नहीं होंगे।
उदाहरण के लिए, 6 cm, 8 cm और 10 cm भुजाओं वाला त्रिभुज भी 3 : 4 : 5 के अनुपात में है।

सर्वांगसम होने के लिए दोनों त्रिभुजों की संगत भुजाओं की लंबाइयाँ बराबर होनी चाहिए। यहाँ भुजाओं का अनुपात समान है, लेकिन उनकी लंबाइयाँ बराबर नहीं हैं। इसलिए ये दोनों त्रिभुज सर्वांगसम नहीं हैं।

उत्तर:
नहीं, ऐसे त्रिभुज की रचना संभव नहीं है।

माना भुजाओं की लंबाइयाँ a, 3a और 5a हैं, जहाँ a धनात्मक है।
दो छोटी भुजाओं का योग = a + 3a = 4a।
लेकिन 4a < 5a।

किसी भी त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए। यहाँ दो छोटी भुजाओं का योग सबसे बड़ी भुजा से कम है।
अतः 1 : 3 : 5 के अनुपात में भुजाओं वाला त्रिभुज नहीं बन सकता।

कक्षा 8 गणित प्रकाश भाग 2 के पेज 62 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

उत्तर:
कुल व्यक्तियों की संख्या = 360
ग्रीष्म ऋतु पसंद करने वाले व्यक्ति = 90
वर्षा ऋतु पसंद करने वाले व्यक्ति = 120

शीत ऋतु पसंद करने वाले व्यक्ति = 360 − (90 + 120)
= 360 − 210
= 150

वृत्त के केंद्र पर बनने वाले सभी कोणों का योग 360° होता है।
प्रत्येक ऋतु का केंद्रीय कोण = (उस ऋतु को पसंद करने वाले व्यक्तियों की संख्या ÷ कुल व्यक्तियों की संख्या) × 360°

ग्रीष्म ऋतु का कोण = (90 ÷ 360) × 360° = 90°
वर्षा ऋतु का कोण = (120 ÷ 360) × 360° = 120°
शीत ऋतु का कोण = (150 ÷ 360) × 360° = 150°

एक वृत्त बनाकर उसकी एक त्रिज्या खींचते हैं। इस त्रिज्या से वामावर्त क्रमशः 90°, 120° और 150° के कोण बनाकर वृत्त को तीन भागों में बाँटते हैं।
वृत्त आलेख में A = ग्रीष्म ऋतु, B = वर्षा ऋतु और C = शीत ऋतु है।

मनोरंजन— 50%, खेलकूद— 25%, समाचार— 15%, सूचना— 10%
उत्तर:
प्रत्येक भाग का केंद्रीय कोण = (उसका प्रतिशत ÷ 100) × 360°

मनोरंजन का कोण = (50 ÷ 100) × 360° = 180°
खेलकूद का कोण = (25 ÷ 100) × 360° = 90°
समाचार का कोण = (15 ÷ 100) × 360° = 54°
सूचना का कोण = (10 ÷ 100) × 360° = 36°

एक वृत्त बनाकर उसकी एक त्रिज्या खींचते हैं। इस त्रिज्या से वामावर्त क्रमशः 180°, 90°, 54° और 36° के कोण बनाते हैं।
वृत्त आलेख में A = मनोरंजन, B = खेलकूद, C = समाचार और D = सूचना है।

उत्तर:
मेरी कक्षा में 40 विद्यार्थी हैं। प्रत्येक विद्यार्थी ने अपना एक पसंदीदा विषय चुना। भाषा को 8, कला शिक्षा को 4, व्यावसायिक शिक्षा को 2, सामाजिक विज्ञान को 6, शारीरिक शिक्षा को 4, गणित को 10 और विज्ञान को 6 विद्यार्थियों ने चुना।

तालिका और वृत्त आलेख में विषयों के लिए ये अक्षर लिए हैं:
A = भाषा
B = कला शिक्षा
C = व्यावसायिक शिक्षा
D = सामाजिक विज्ञान
E = शारीरिक शिक्षा
F = गणित
G = विज्ञान
तालिका में n विद्यार्थियों की संख्या, θ केंद्रीय कोण और Σ कुल योग को दर्शाता है।

प्रत्येक विद्यार्थी के लिए केंद्रीय कोण = 360° ÷ 40 = 9°
इसलिए,
भाषा का कोण = 8 × 9° = 72°
कला शिक्षा का कोण = 4 × 9° = 36°
व्यावसायिक शिक्षा का कोण = 2 × 9° = 18°
सामाजिक विज्ञान का कोण = 6 × 9° = 54°
शारीरिक शिक्षा का कोण = 4 × 9° = 36°
गणित का कोण = 10 × 9° = 90°
विज्ञान का कोण = 6 × 9° = 54°

एक वृत्त बनाकर एक त्रिज्या खींचते हैं। इस त्रिज्या से वामावर्त क्रमशः 72°, 36°, 18°, 54°, 36°, 90° और 54° के कोण बनाकर विभिन्न विषयों के भाग बनाते हैं।

कक्षा 8 गणित प्रकाश भाग 2 के पेज 65 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

उत्तर:
यदि x और y व्युत्क्रमानुपाती हों, तो उनके संगत मानों का गुणनफल xy समान रहता है।
(i) 40 × 20 = 800
80 × 10 = 800
25 × 32 = 800
16 × 50 = 800
सभी गुणनफल 800 हैं। इसलिए इस स्थिति में x और y व्युत्क्रमानुपाती हैं।

(ii) 40 × 20 = 800
80 × 10 = 800
25 × 12.5 = 312.5
16 × 8 = 128
गुणनफल समान नहीं हैं। इसलिए इस स्थिति में x और y व्युत्क्रमानुपाती नहीं हैं।

(iii) 30 × 15 = 450
90 × 5 = 450
150 × 3 = 450
10 × 45 = 450
सभी गुणनफल 450 हैं। इसलिए इस स्थिति में x और y व्युत्क्रमानुपाती हैं।
अतः स्थितियों (i) और (iii) में x और y व्युत्क्रमानुपाती हैं।

उत्तर:
x और y व्युत्क्रमानुपाती हैं, इसलिए xy का मान समान रहेगा।
पहले स्तंभ से,
xy = 16 × 9 = 144।

जब x = 12 है, तब
y = 144 ÷ 12 = 12।

जब y = 48 है, तब
x = 144 ÷ 48 = 3।

जब x = 36 है, तब
y = 144 ÷ 36 = 4।
अतः x के रिक्त स्थान में 3 तथा y के रिक्त स्थानों में 12 और 4 आएँगे। पूरी तालिका इस प्रकार है:

कक्षा 8 गणित प्रकाश भाग 2 के पेज 67 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

(i) पानी की एक टंकी को भरने के लिए नलों की संख्या और टंकी भरने में लगने वाला समय।
(ii) एक निश्चित आकार की दीवार को रंगने के लिए काम पर लगाए गए पेंटरों (Painters) की संख्या और लगने वाले दिनों की संख्या।
(iii) एक कार जितनी दूर तक चल सकती है और कार की ईंधन टंकी में पेट्रोल की मात्रा।
(iv) एक निश्चित दूरी तय करने के लिए साइकिल चालक की गति और लगने वाला समय।
(v) खरीदे गए कपड़े की लंबाई और प्रति मीटर के लिए एक निश्चित दर पर चुकाई गई धनराशि।
(vi) एक पुस्तक में पृष्ठों की संख्या और पढ़ने की एक निश्चित गति के साथ पुस्तक को पढ़ने में लगने वाला समय
उत्तर:
(i) ये व्युत्क्रमानुपाती हैं। समान दर से पानी देने वाले नलों की संख्या बढ़ाने पर टंकी भरने का समय उसी अनुपात में कम होगा।

(ii) ये व्युत्क्रमानुपाती हैं। सभी पेंटरों के समान गति से और प्रतिदिन समान समय तक काम करने पर पेंटरों की संख्या बढ़ाने से दिनों की संख्या कम होगी।

(iii) ये व्युत्क्रमानुपाती नहीं हैं। समान माइलेज पर पेट्रोल की मात्रा बढ़ने से कार अधिक दूरी तय कर सकती है। इसलिए ये सीधे समानुपाती हैं।

(iv) ये व्युत्क्रमानुपाती हैं। एक निश्चित दूरी के लिए गति बढ़ाने पर यात्रा का समय उसी अनुपात में कम होता है।

(v) ये व्युत्क्रमानुपाती नहीं हैं। प्रति मीटर दर समान होने पर अधिक कपड़े का मूल्य अधिक होगा। इसलिए ये सीधे समानुपाती हैं।

(vi) ये व्युत्क्रमानुपाती नहीं हैं। पढ़ने की गति समान होने पर अधिक पृष्ठ पढ़ने में अधिक समय लगेगा। इसलिए ये सीधे समानुपाती हैं।
अतः युग्म (i), (ii) और (iv) व्युत्क्रमानुपाती हैं।

उत्तर:
24 पेंसिलों का मूल्य = ₹120
1 पेंसिल का मूल्य = ₹120 ÷ 24 = ₹5
20 पेंसिलों का मूल्य = ₹5 × 20 = ₹100
अतः 20 पेंसिलों का मूल्य ₹100 होगा।

उत्तर:
नई कुल परिवार संख्या = 20 + 10 = 30।

मैं मानता हूँ कि प्रत्येक परिवार प्रतिदिन समान मात्रा में पानी उपयोग करता है। टंकी में नया पानी नहीं भरा जाता और पानी का रिसाव या अपव्यय नहीं होता।
पानी की मात्रा निश्चित है। इसलिए परिवारों की संख्या और पानी चलने के दिनों की संख्या व्युत्क्रमानुपाती हैं।

माना पानी x दिनों तक चलेगा।
20 × 6 = 30 × x
x = (20 × 6) ÷ 30
= 120 ÷ 30
= 4।
अतः टंकी का पानी 4 दिनों के लिए पर्याप्त होगा।

उत्तर:
एक पूरा वृत्त 24 घंटे दर्शाता है। नीला भाग सोने का समय दर्शाता है।
ऊपर की पंक्ति में बाएँ से दाएँ:
(i) जिराफ — 2.5 घंटे।
(ii) हाथी — 3.5 घंटे।
(iii) मनुष्य — 8 घंटे।
(iv) कुत्ता — 10.5 घंटे।

नीचे की पंक्ति में बाएँ से दाएँ:
(v) बिल्ली — 13 घंटे।
(vi) गिलहरी — 15 घंटे।
(vii) साँप — 18 घंटे।
(viii) चमगादड़ — 20 घंटे।

उदाहरण के लिए, मनुष्य के वृत्त का लगभग 1/3 भाग नीला है। इसलिए उसके सोने का समय 24 × 1/3 = 8 घंटे है। साँप के वृत्त का 3/4 भाग नीला है, इसलिए उसका सोने का समय 24 × 3/4 = 18 घंटे है। इसी तरह बाकी वृत्तों के नीले भागों की तुलना करके सूची से समय चुना गया है।

(i) सर्वाधिक प्रचलित परिवहन का साधन कौन-सा है?
(ii) विद्यार्थियों का कितना भाग कार से विद्यालय जाता है?
(iii) यदि 18 विद्यार्थी कार से विद्यालय जाते हैं तो सर्वेक्षण में कितने विद्यार्थियों ने भाग लिया था? कितने विद्यार्थी विद्यालय जाने के लिए बस का उपयोग करते हैं?
(iv) कौन-से दो परिवहन के साधनों द्वारा समान संख्या में विद्यार्थी विद्यालय जाते हैं?

उत्तर:
(i) बस का क्षेत्र सबसे बड़ा है और उसका केंद्रीय कोण 120° है। इसलिए सर्वाधिक प्रचलित साधन बस है।

(ii) पूरे वृत्त का केंद्रीय कोण = 360°।
कार के क्षेत्र का कोण = 360° − (90° + 120° + 60° + 60°)
= 360° − 330°
= 30°।
कार से जाने वाले विद्यार्थियों का भाग = 30°/360°
= 1/12।
अतः कुल विद्यार्थियों का 1/12 भाग कार से विद्यालय जाता है।

(iii) कुल विद्यार्थियों का 1/12 भाग = 18 विद्यार्थी।
इसलिए कुल विद्यार्थी = 18 × 12 = 216।
बस से जाने वाले विद्यार्थियों का भाग = 120°/360° = 1/3।
बस से जाने वाले विद्यार्थी = 216 × 1/3 = 72।
अतः सर्वेक्षण में 216 विद्यार्थियों ने भाग लिया था और 72 विद्यार्थी बस का उपयोग करते हैं।

(iv) साइकिल और दोपहिया के क्षेत्रों के कोण 60°-60° हैं। इसलिए इन दोनों साधनों से समान संख्या में विद्यार्थी विद्यालय जाते हैं।

उत्तर:
कुल श्रमिक = 3 + 1 = 4।

मैं मानता हूँ कि सभी श्रमिक समान गति से प्रतिदिन समान समय तक काम करते हैं और चारों श्रमिक शुरू से साथ काम करते हैं।
श्रमिकों की संख्या और कार्य पूरा होने के दिनों की संख्या व्युत्क्रमानुपाती हैं।

माना कार्य पूरा करने में x दिन लगेंगे।
3 × 4 = 4 × x
x = 12 ÷ 4
= 3।
अतः चारों श्रमिक यह कार्य 3 दिनों में पूरा करेंगे।

उत्तर:
पंप की पानी भरने की दर समान रहने पर टंकियों की संख्या और समय सीधे समानुपाती हैं।

2 टंकियाँ भरने में समय = 6 घंटे।
1 टंकी भरने में समय = 6 ÷ 2 = 3 घंटे।
5 टंकियाँ भरने में समय = 3 × 5 = 15 घंटे।
अतः 5 टंकियाँ भरने में 15 घंटे लगेंगे।

उत्तर:
कुल कुर्सियाँ = 25 × 12 = 300।
नई व्यवस्था में प्रत्येक पंक्ति में कुर्सियाँ = 20।

नई पंक्तियों की संख्या = 300 ÷ 20
= 15।
अतः नई व्यवस्था में 15 पंक्तियाँ होंगी।

उत्तर:
प्रतिदिन सभी कालांशों का कुल समय = 8 × 45
= 360 मिनट।

9 कालांश होने पर प्रत्येक कालांश की अवधि = 360 ÷ 9
= 40 मिनट।
अतः प्रत्येक कालांश 40 मिनट का होगा।

उत्तर:
छोटा पंप 1 घंटे में टंकी का 1/3 भाग भरता है।
बड़ा पंप 1 घंटे में टंकी का 1/2 भाग भरता है।

दोनों पंप 1 घंटे में भरेंगे = 1/3 + 1/2
= 2/6 + 3/6
= 5/6 भाग।

पूरी टंकी भरने में समय = 1 ÷ (5/6)
= 6/5 घंटे
= 1.2 घंटे
= 1 घंटा 12 मिनट।
अतः दोनों पंप मिलकर टंकी को 1 घंटा 12 मिनट में भरेंगे।

उत्तर:
सभी मशीनों की कार्य करने की दर और प्रतिदिन काम करने का समय समान मानते हैं।
उतने ही खिलौने बनाने के लिए मशीनों की संख्या और दिनों की संख्या व्युत्क्रमानुपाती हैं।

माना आवश्यक मशीनों की संख्या x है।
42 × 63 = x × 54
x = (42 × 63) ÷ 54
= 2646 ÷ 54
= 49।
अतः 49 मशीनों की आवश्यकता होगी।

उत्तर:
गंतव्य की दूरी = गति × समय
= 60 × 2
= 120 km।

80 km/h की गति से लगने वाला समय = दूरी ÷ गति
= 120 ÷ 80
= 1.5 घंटे
= 1 घंटा 30 मिनट।
अतः कार को 1 घंटा 30 मिनट का समय लगेगा।

प्रश्न हल करने से पहले देखें कि दोनों राशियों का भागफल स्थिर है या गुणनफल। भागफल स्थिर हो तो सीधा समानुपात है, गुणनफल स्थिर हो तो व्युत्क्रमानुपात। आखिरी प्रश्नावली में दोनों तरह के प्रश्न मिले-जुले हैं: 24 पेंसिलों के मूल्य और 2 टंकियाँ भरने वाले प्रश्न सीधे समानुपात के हैं, जबकि कुर्सियों की पंक्तियों और कालांशों वाले प्रश्न व्युत्क्रमानुपात के। मिलकर काम करने वाले प्रश्नों में पहले हर एक का एक घंटे का काम निकालें, और वृत्त आलेख के कोण निकालने से पहले अनुपात को सरलतम रूप में लाएँ। भाग 1 का ‘समानुपातिक तर्कण-1’ और पिछला अध्याय ‘बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय’ भी देखें; गणित प्रकाश के हर अध्याय के हल एक जगह कक्षा 8 गणित के एनसीईआरटी समाधान में हैं।