एनसीईआरटी समाधान कक्षा 8 गणित प्रश्नावली 11.2

यदि दो राशियाँ परस्पर इस प्रकार संबंधित हैं कि एक में वृद्धि होने से दूसरी में कमी हो, तो वे सदैव प्रतिलोम विचरित होती हैं।
दो राशियाँ इस प्रकार भी परिवर्तित (बदल) हो सकती हैं कि यदि एक राशि में वृद्धि होती है, तो दूसरी राशि में कमी होती है तथा एक में कमी होने पर दूसरी में वृद्धि होती है। उदाहरणार्थ, जब किसी काम पर अधिक व्यक्ति लगाए जाते हैं, तो वह काम कम समय में पूरा हो जाता है। इसी प्रकार, यदि चाल बढ़ा दी जाए, तो एक निश्चित दूरी तय करने में कम समय लगता है।
उदाहरण:
जाहिदा अपने स्कूल चार विभिन्न प्रकारों से जा सकती है। वह पैदल जा सकती है, दौड़ कर जा सकती है, साइकिल पर जा सकती है और कार में जा सकती है। संलग्न सारणी का अध्ययन कीजिए:
स्कूल जाने का तरीका – चाल (km/h में) – लिया गया समय मिनटों में
पैदल चलकर – 3 – 30
दौड़कर – 6 – 15
साइकिल से – 9 – 10
कार द्वारा – 45 – 2

उपरोक्त सारणी को देखने पर पता चलता है कि जब चाल में वृद्धि होती है तो समय कम लगता है।पैदल चलने की चाल 3 km/h है तथा दूरी तय करने में लिया गया समय 30 मिनट है। जाहिदा जब दौड़कर जाती है तो हैचाल दो गुनी हो जाती है और समय आधा हो जाता है। इसी प्रकार साइकिल से जाने पर चाल तीन गुणा हो जाती हैऔर समय 1/3 रह जाता है। अर्थात् समय में होने वाली कमी का अनुपात चाल में होने वाली संगत वृद्धि के अनुपात का प्रतिलोम होता है। क्या हम कह सकते हैं कि गति और समय व्युत्क्रमानुपात में परिवर्तित होते हैं।
जब दो राशियाँ x और y प्रत्यक्ष या सीधे समानुपात में होती हैं (अर्थात् अनुक्रमानुपाती होती हैं), तो इन्हें x ∝ y भी लिखा जाता है। जब दो राशियाँ x और y प्रतिलोम समानुपात में (अर्थात् व्युत्क्रमानुपाती) होती हैं, तो उन्हें x ∝ 1/y भी लिखा जाता है।

एक टंकी को 1 घंटे 20 मिनट में भरने के लिए 6 पाइपों की आवश्यकता पड़ती है। यदि उसी प्रकार के केवल 5 पाइपों का ही उपयोग किया जाए, तो वह टंकी कितने समय में भरेगी?
हल:
मान लीजिए कि टंकी को भरने का वांछित समय x मिनट है। तब, हमें निम्नलिखित सारणी प्राप्त होती है:
पाइपों की संख्या समय (मिनटों में)
6 80
5 x
पाइपों की संख्या जितनी कम होगी, टंकी को भरने में उतना ही अधिक समय लगेगा। अतः यह एक प्रतिलोम समानुपात की स्थिति है।
अतः 80 × 6 = x × 5 (x₁y₁ = x₂y₂)
या (80 × 6)/5 = x
या x = 96
इस प्रकार, टंकी को 5 पाइपों द्वारा 96 मिनट, अर्थात् 1 घंटा 36 मिनट में भरा जाएगा।

एक छात्रवास में 100 विद्यार्थी हैं और उनके भोजन की सामग्री 20 दिन के लिए पर्याप्त है। यदि इस समूह में 25 विद्यार्थी और आ जाएँ, तो यह भोजन सामग्री कितने दिन चलेगी?
हल:
मान लीजिए कि भोजन सामग्री 125 विद्यार्थियों के लिए ल दिन तक चलेगी। हम निम्नलिखित सारणी प्राप्त करते हैं:
विद्यार्थियों की संख्या दिनों की संख्या
100 20
125 y
ध्यान दीजिए कि जितने विद्यार्थी अधिक होंगे उतने ही कम समय में भोजन सामग्री समाप्त हो जाएगी। अतः यह एक प्रतिलोम समानुपात की स्थिति है।
इसलिए 100 × 20 = 125 × y
या y = (100 × 20)/125
या y = 16