एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 9.1

इसके अधिकांश उत्कृष्ट अनुप्रयोग नेविगेशन, भूगोल, खगोल विज्ञान, वास्तुकला और इंजीनियरिंग के सभी क्षेत्रों में दिखाए जाते हैं।

• उन्नयन कोण: जब किसी वस्तु को धरातल से ऊपर की ओर देखा जाता है तो धरातल के साथ बने कोण को उन्नयन कोण कहते है।
• अवनमन कोण: जब किसी वस्तु का निचे की ओर झुकते हुए कोण बन रहा है तो उसे अवनमन कोण कहते है।

दृष्टि-रेखा
प्रेक्षक की आँख के उस वस्तु के बिदु को मिलाने वाली रेखा होती है जिसे प्रेक्षक देखता है।

धरती पर एक मीनार ऊर्ध्वाधर खड़ी है। धरती के एक बिदु से, जो मीनार के पाद-बिदु से 15 m दूर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल
यहाँ AB मीनार को निरूपित करता है, CB मीनार से बिदु की दूरी है और ∠ ACB उन्नयन कोण है। हम मीनार की ऊँचाई अर्थात् AB ज्ञात करना चाहते हैं और, यहाँ ACB एक त्रिभुज है जो B पर समकोण है।
प्रश्न को हल करने के लिए हम त्रिकोणमितीय अनुपात tan 60° लेते हैं, क्योंकि इस अनुपात में AB और BC दोनों होते हैं
अब tan 60° = AB/BC
अर्थात् √3 = AB/15
अर्थात् AB = 15√3
अतः मीनार की ऊंचाई 15√3 है।

1.5 m लंबा एक प्रेक्षक एक चिमनी से 28.5 m की दूरी पर है। उसकी आँखों से चिमनी के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। चिमनी की ऊँचाई बताइए।
हल
यहाँ AB चिमनी है, CD प्रेक्षक है और ∠ADE उन्नयन कोण है। यहाँ ADE एक त्रिभुज है जिसमें कोण E समकोण है और हमें चिमनी की ऊँचाई ज्ञात करनी है।
यहाँ AB = AE + BE = (AE + 1.5) m
और DE = CB = 28.5 m
AE ज्ञात करने के लिए हमें एक ऐसा त्रिकोणमिति अनुपात लेना चाहिए जिसमें AE और DE दोनों हो। इसके लिए आइए हम उन्नयन कोण का tangent लें।
अब tan 45° = AE/DE
अर्थात् 1 = AE/28.5
इसलिए, AE = 28.5
अतः चिमनी की ऊंचाई AB = (28.5 + 1.5) m = 30 m

एक नदी के पुल के एक बिदु से नदी के सम्मुख किनारों के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 45° हैं। यदि पुल किनारों से 3 m की ऊँचाई पर हो तो नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल
माना A और B नदी के सम्मुख किनारों के बिदुओं को प्रकट करते हैं, जिससे कि AB नदी की चौड़ाई है। 3 m की ऊँचाई पर बने पुल पर एक बिदु P है अर्थात् DP = 3 m है। हम नदी की चौड़ाई ज्ञात करना चाहते हैं जो कि ∆ APB की भुजा AB की लम्बाई है।
अब AB = AD + DB
समकोण ∆ APD में ∠A = 30°
अतः tan 30° = PD/AD
अर्थात् 1/√3 = 3/AD
या AD = 3√3
अतः समकोण ∆ APD में, ∠ B = 45⁰ है। इसलिए, BD = PD = 3 m
अब AB = BD + AD = 3 + 3√3 = 3 (1 + √3) m
इसलिए, नदी की चौड़ाई 3 (1 + √3) m है।

1.
(i) दृष्टि-रेखा प्रेक्षक की आँख से प्रेक्षक द्वारा देखी गई वस्तु के बिदु को मिलाने वाली रेखा होती है।
(ii) देखी गई वस्तु का उन्नयन कोण दृष्टि-रेखा और क्षैतिज रेखा से बना कोण होता है जबकि यह क्षैतिज स्तर से ऊपर होता है अर्थात् वह स्थिति जबकि वस्तु को देखने के लिए हमें अपने सिर को ऊपर उठाना होता है।
(iii) देखी गई वस्तु का अवनमन कोण दृष्टि-रेखा और क्षैतिज रेखा से बना कोण होता है जबकि क्षैतिज रेखा क्षैतिज स्तर से नीचे होती है अर्थात् वह स्थिति जबकि वस्तु को देखने के लिए हमें अपने सिर को झुकाना पड़ता है।
2. त्रिकोणमितीय अनुपातों की सहायता से किसी वस्तु की ऊँचाई या लंबाई या दो सुदूर वस्तुओं के बीच की दूरी ज्ञात की जा सकती है।