एनसीईआरटी समाधान कक्षा 6 गणित प्रकाश अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर

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कक्षा 6 गणित प्रकाश पाठ 10 में बेला की मजेदार इमारत, धन और ऋण चिह्नों वाली गोटियों तथा तापमान जैसे उदाहरणों से संख्या रेखा, योज्य प्रतिलोम और पूर्णांकों का जोड़-घटाव समझाया गया है। ब्रह्मगुप्त के नियमों और पूर्णांकों वाले साँप-सीढ़ी खेल सहित अभ्यास प्रश्नों के हल सत्र 2026-27 की पुस्तक के अनुसार हैं।
कक्षा 6 गणित प्रकाश के पेज 245 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

अभ्यास 1

उत्तर:
+2 तल से 3 तल नीचे जाते हैं। पहले +1, फिर 0 और अंत में −1 तल पर पहुँचते हैं।
अतः हम −1 तल पर खिलौनों की दुकान में पहुँचेंगे।
प्रारंभिक तल + गति = लक्षित तल
(+2) + (−3) = −1

a. (+1) + (+4) = _______
b. (+4) + (+1) = ________
c. (+4) + (−3) = _______
d. (−1) + (+2) = ________
e. (−1) + (+1) = _______
f. (0) + (+2) = __________
g. (0) + (−2) = _________
उत्तर:
a. (+1) + (+4) = +5। +1 से 4 तल ऊपर जाने पर +5 मिलता है।
b. (+4) + (+1) = +5। +4 से 1 तल ऊपर जाने पर +5 मिलता है।
c. (+4) + (−3) = +1। +4 से 3 तल नीचे जाने पर +1 मिलता है।
d. (−1) + (+2) = +1। −1 से 2 तल ऊपर जाने पर +1 मिलता है।
e. (−1) + (+1) = 0। −1 से 1 तल ऊपर जाने पर भूतल मिलता है।
f. (0) + (+2) = +2। भूतल से 2 तल ऊपर जाने पर +2 मिलता है।
g. (0) + (−2) = −2। भूतल से 2 तल नीचे जाने पर −2 मिलता है।

इसी प्रकार −5 पर पहुँचने के लिए अन्य प्रारंभिक स्थितियाँ और आवश्यक गतियों को ज्ञात कीजिए और पदों को लिखिए।
उत्तर:
−5 तल तक पहुँचने के लिए जितने तल नीचे जाना होगा, उतनी बार ‘−’ बटन दबाएँगे। अन्य तलों से ये पद मिलते हैं-
(+6) + (−11) = −5
(+5) + (−10) = −5
(+4) + (−9) = −5
(+3) + (−8) = −5
(+1) + (−6) = −5
0 + (−5) = −5
(−1) + (−4) = −5
(−2) + (−3) = −5
(−3) + (−2) = −5
(−4) + (−1) = −5
(−5) + 0 = −5

यदि हम पहले से −5 तल पर हैं, तो कोई बटन दबाने की आवश्यकता नहीं है।

अभ्यास 2

a. (+1) + (+4) = _______
b. (+4) + (+1) = _______
c. (+4) + (−3) + (−2) = _______
d. (−1) + (+2) + (−3) = _______
उत्तर:
a. (+1) + (+4) = +5। पहले 1 तल और फिर 4 तल ऊपर जाने से कुल 5 तल ऊपर जाते हैं।

b. (+4) + (+1) = +5। पहले 4 तल और फिर 1 तल ऊपर जाने से कुल 5 तल ऊपर जाते हैं।

c. (+4) + (−3) + (−2)
= (+1) + (−2)
= −1
4 तल ऊपर और कुल 5 तल नीचे जाने से अंत में 1 तल नीचे पहुँचते हैं।

d. (−1) + (+2) + (−3)
= (+1) + (−3)
= −2
कुल 4 तल नीचे और 2 तल ऊपर जाने से अंत में 2 तल नीचे पहुँचते हैं।

कक्षा 6 गणित प्रकाश के पेज 247 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

a. −2 □ +5
b. −5 □ +4
c. −5 □ −3
d. +6 □ −6
e. 0 □ −4
f. 0 □ +4
उत्तर:
ऊपर का तल बड़ी संख्या और नीचे का तल छोटी संख्या दर्शाता है।

a. −2 < +5
b. −5 < +4
c. −5 < −3 d. +6 > −6
e. 0 > −4
f. 0 < +4

जैसे, −5 तल, −3 तल से नीचे है। इसलिए −5 < −3 है।

a. −10 □ −12
b. +17 □ −10
c. 0 □ −20
d. +9 □ −9
e. −25 □ −7
f. +15 □ −17
उत्तर:
a. −10 > −12
b. +17 > −10
c. 0 > −20
d. +9 > −9
e. −25 < −7 f. +15 > −17

सभी धनात्मक संख्याएँ 0 से बड़ी और सभी ऋणात्मक संख्याएँ 0 से छोटी होती हैं। दो ऋणात्मक संख्याओं में जो 0 के पास है, वह बड़ी है। जैसे, −10, −12 से बड़ा है।

उत्तर:
हर निशान पर एक तल है। 0 से ऊपर गिनने पर धनात्मक और नीचे गिनने पर ऋणात्मक तल मिलते हैं।

B = −9, C = −6, F = +2, G = +6 और H = +11।

जैसे, A = −12 से तीन तल ऊपर जाने पर B मिलता है। इसलिए B = −12 + 3 = −9 है।

a. −7
b. −4
c. +3
d. −10

उत्तर:
0 को आधार मानकर तल अंकित करते हैं।
a. −7 को 0 से 7 तल नीचे अंकित किया है।
b. −4 को 0 से 4 तल नीचे अंकित किया है।
c. +3 को 0 से 3 तल ऊपर अंकित किया है।
d. −10 को 0 से 10 तल नीचे अंकित किया है।

कक्षा 6 गणित प्रकाश के पेज 249 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

a. (+1) − (+4) = _______
b. (0) − (+2) = _______
c. (+4) − (+1) = _______
d. (0) − (−2) = _______
e. (+4) − (−3) = _______
f. (−4) − (−3) = _______
g. (−1) − (+2) = _______
h. (−2) − (−2) = _______
i. (−1) − (+1) = _______
j. (+3) − (−3) = _______
उत्तर:
लक्षित तल − प्रारंभिक तल = आवश्यक गति। ऊपर जाने की गति धनात्मक और नीचे जाने की गति ऋणात्मक होगी।

a. (+1) − (+4) = −3। +4 से +1 तक 3 तल नीचे जाते हैं।
b. 0 − (+2) = −2। +2 से 0 तक 2 तल नीचे जाते हैं।
c. (+4) − (+1) = +3। +1 से +4 तक 3 तल ऊपर जाते हैं।
d. 0 − (−2) = +2। −2 से 0 तक 2 तल ऊपर जाते हैं।
e. (+4) − (−3) = +7। −3 से 0 तक 3 और फिर +4 तक 4 तल, अर्थात कुल 7 तल ऊपर जाते हैं।
f. (−4) − (−3) = −1। −3 से −4 तक 1 तल नीचे जाते हैं।
g. (−1) − (+2) = −3। +2 से −1 तक 3 तल नीचे जाते हैं।
h. (−2) − (−2) = 0। प्रारंभिक और लक्षित तल समान हैं, इसलिए कोई गति नहीं होती।
i. (−1) − (+1) = −2। +1 से −1 तक 2 तल नीचे जाते हैं।
j. (+3) − (−3) = +6। −3 से +3 तक 6 तल ऊपर जाते हैं।

कक्षा 6 गणित प्रकाश के पेज 251 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

a. (+40) + ______ = +200
b. (+40) + ______ = −200
c. (−50) + ______ = +200
d. (−50) + ______ = −200
e. (−200) − (−40) = ______
f. (+200) − (+40) = ______
g. (−200) − (+40) = ______

खदान कूपक (Shaft) में गति के विषय में सोचकर अपने उत्तर की जाँच कीजिए।

उत्तर:
a. (+40) + (+160) = +200। +40 से 160 स्तर ऊपर जाने पर +200 मिलता है।
b. (+40) + (−240) = −200। पहले 40 स्तर नीचे आकर 0 पर, फिर 200 स्तर और नीचे जाते हैं। कुल गति −240 है।
c. (−50) + (+250) = +200। पहले 50 स्तर ऊपर आकर 0 पर, फिर 200 स्तर और ऊपर जाते हैं। कुल गति +250 है।
d. (−50) + (−150) = −200। −50 से 150 स्तर नीचे जाने पर −200 मिलता है।
e. (−200) − (−40) = −200 + 40 = −160। −40 से −200 पर जाने के लिए 160 स्तर नीचे जाना होगा।
f. (+200) − (+40) = +160। +40 से +200 पर जाने के लिए 160 स्तर ऊपर जाना होगा।
g. (−200) − (+40) = −240। +40 से −200 पर जाने के लिए 240 स्तर नीचे जाना होगा।

कक्षा 6 गणित प्रकाश के पेज 253 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

उत्तर:
मैंने धनात्मक संख्याएँ 2, 4, 6 और ऋणात्मक संख्याएँ −2, −4, −6 चुनी हैं। धनात्मक संख्याएँ 0 के दाईं ओर और ऋणात्मक संख्याएँ 0 के बाईं ओर चिह्नित की हैं।

उत्तर:
तीनों बॉक्स में क्रमशः −6, −4 और −2 लिखेंगे। ये संख्या रेखा पर चिह्नित तीन ऋणात्मक संख्याएँ हैं।

उत्तर:
हाँ, 2 > −3 है, क्योंकि संख्या रेखा पर 2, −3 के दाईं ओर है।
हाँ, −2 < 3 है, क्योंकि संख्या रेखा पर −2, 3 के बाईं ओर है।
संख्या रेखा पर दाईं ओर की संख्या बड़ी और बाईं ओर की संख्या छोटी होती है।

a. −5 + 0
b. 7 + (−7)
c. −10 + 20
d. 10 − 20
e. 7 − (−7)
f. −8 − (−10)?
उत्तर:
a. −5 + 0 = −5। शून्य जोड़ने पर संख्या नहीं बदलती।
b. 7 + (−7) = 0। एक संख्या और उसके योज्य प्रतिलोम का योग 0 होता है।
c. −10 + 20 = +10। −10 से 20 कदम दाईं ओर चलने पर 10 पर पहुँचते हैं।
d. 10 − 20 = −10। 10 से 20 कदम बाईं ओर चलने पर −10 पर पहुँचते हैं।
e. 7 − (−7) = 7 + 7 = 14। ऋणात्मक संख्या को घटाना उसके योज्य प्रतिलोम को जोड़ने के समान है।
f. −8 − (−10) = −8 + 10 = 2।

कक्षा 6 गणित प्रकाश के पेज 257 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

a. (+6) + (+4)
b. (−3) + (−2)
c. (+5) + (−7)
d. (−2) + (+6)
उत्तर:
एक धनात्मक और एक ऋणात्मक टोकन मिलकर शून्य जोड़ा बनाते हैं। इन्हें साथ हटाने से कुल मान नहीं बदलता।

a. 6 धनात्मक टोकन और 4 धनात्मक टोकन मिलाकर 10 धनात्मक टोकन हैं।
(+6) + (+4) = +10।

b. 3 ऋणात्मक टोकन और 2 ऋणात्मक टोकन मिलाकर 5 ऋणात्मक टोकन हैं।
(−3) + (−2) = −5।

c. 5 धनात्मक और 7 ऋणात्मक टोकनों में 5 शून्य जोड़े हटाते हैं। 2 ऋणात्मक टोकन बचते हैं।
(+5) + (−7) = −2।

d. 2 ऋणात्मक और 6 धनात्मक टोकनों में 2 शून्य जोड़े हटाते हैं। 4 धनात्मक टोकन बचते हैं।
(−2) + (+6) = +4।

उत्तर:
a. यहाँ 3 धनात्मक और 5 ऋणात्मक टोकन हैं। 3 शून्य जोड़े हटाने पर 2 ऋणात्मक टोकन बचते हैं। लिफ्ट चालक −2 तल पर है।
संगत कथन: (+3) + (−5) = −2।

b. यहाँ 6 धनात्मक और 3 ऋणात्मक टोकन हैं। 3 शून्य जोड़े हटाने पर 3 धनात्मक टोकन बचते हैं। लिफ्ट चालक +3 तल पर है।
संगत कथन: (+6) + (−3) = +3।

कक्षा 6 गणित प्रकाश के पेज 258 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

a. (+10) − (+7)
b. (−8) − (−4)
c. (−9) − (−4)
d. (+9) − (+12)
e. (−5) − (−7)
f. (−2) − (6)
उत्तर:
a. 10 धनात्मक टोकनों में से 7 हटाने पर 3 धनात्मक टोकन बचते हैं।
(+10) − (+7) = +3।

b. 8 ऋणात्मक टोकनों में से 4 हटाने पर 4 ऋणात्मक टोकन बचते हैं।
(−8) − (−4) = −4।

c. 9 ऋणात्मक टोकनों में से 4 हटाने पर 5 ऋणात्मक टोकन बचते हैं।
(−9) − (−4) = −5।

d. 9 धनात्मक टोकनों के साथ 3 शून्य जोड़े रखते हैं। अब 12 धनात्मक और 3 ऋणात्मक टोकन हैं। 12 धनात्मक टोकन हटाने पर 3 ऋणात्मक टोकन बचते हैं।
(+9) − (+12) = −3।

e. 5 ऋणात्मक टोकनों के साथ 2 शून्य जोड़े रखते हैं। अब 2 धनात्मक और 7 ऋणात्मक टोकन हैं। 7 ऋणात्मक टोकन हटाने पर 2 धनात्मक टोकन बचते हैं।
(−5) − (−7) = +2।

f. 2 ऋणात्मक टोकनों के साथ 6 शून्य जोड़े रखते हैं। अब 6 धनात्मक और 8 ऋणात्मक टोकन हैं। 6 धनात्मक टोकन हटाने पर 8 ऋणात्मक टोकन बचते हैं।
(−2) − (6) = −8।

जाँच के लिए घटाई जाने वाली संख्या का योज्य प्रतिलोम जोड़ते हैं—
a. 10 + (−7) = 3
b. −8 + 4 = −4
c. −9 + 4 = −5
d. 9 + (−12) = −3
e. −5 + 7 = 2
f. −2 + (−6) = −8
दोनों तरीकों से समान परिणाम मिले।

a. (−5) − (−7)
b. (+10) − (+13)
c. (−7) − (−9)
d. (+3) − (+8)
e. (−2) − (−7)
f. (+3) − (+15)
उत्तर:
घटाई जाने वाली संख्या का योज्य प्रतिलोम जोड़ते हैं।
a. (−5) − (−7) = −5 + 7 = +2
b. (+10) − (+13) = 10 + (−13) = −3
c. (−7) − (−9) = −7 + 9 = +2
d. (+3) − (+8) = 3 + (−8) = −5
e. (−2) − (−7) = −2 + 7 = +5
f. (+3) − (+15) = 3 + (−15) = −12

कक्षा 6 गणित प्रकाश के पेज 259 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

आपको कितने शून्य के जोड़े रखने होंगे? इसका परिणाम क्या होगा?
उत्तर:
पहले 3 ऋणात्मक टोकन लेते हैं। इनमें से 5 धनात्मक टोकन हटाने हैं, इसलिए 5 शून्य जोड़े रखते हैं। अब 5 धनात्मक और 8 ऋणात्मक टोकन हैं।
5 धनात्मक टोकन हटाने पर 8 ऋणात्मक टोकन बचते हैं।
अतः 5 शून्य जोड़े रखने होंगे और −3 − (+5) = −8 होगा।

a. (−3) − (+10)
b. (+8) − (−7)
c. (−5) − (+9)
d. (−9) − (+10)
e. (+6) − (−4)
f. (−2) − (+7)
उत्तर:
a. 3 ऋणात्मक टोकनों के साथ 10 शून्य जोड़े रखते हैं। 10 धनात्मक टोकन हटाने पर 13 ऋणात्मक टोकन बचते हैं।
(−3) − (+10) = −13।

b. 8 धनात्मक टोकनों के साथ 7 शून्य जोड़े रखते हैं। 7 ऋणात्मक टोकन हटाने पर 15 धनात्मक टोकन बचते हैं।
(+8) − (−7) = +15।

c. 5 ऋणात्मक टोकनों के साथ 9 शून्य जोड़े रखते हैं। 9 धनात्मक टोकन हटाने पर 14 ऋणात्मक टोकन बचते हैं।
(−5) − (+9) = −14।

d. 9 ऋणात्मक टोकनों के साथ 10 शून्य जोड़े रखते हैं। 10 धनात्मक टोकन हटाने पर 19 ऋणात्मक टोकन बचते हैं।
(−9) − (+10) = −19।

e. 6 धनात्मक टोकनों के साथ 4 शून्य जोड़े रखते हैं। 4 ऋणात्मक टोकन हटाने पर 10 धनात्मक टोकन बचते हैं।
(+6) − (−4) = +10।

f. 2 ऋणात्मक टोकनों के साथ 7 शून्य जोड़े रखते हैं। 7 धनात्मक टोकन हटाने पर 9 ऋणात्मक टोकन बचते हैं।
(−2) − (+7) = −9।

कक्षा 6 गणित प्रकाश के पेज 260 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

अभ्यास 1

उत्तर:
कुल जमा राशि = 30 + 40 + 50 = ₹120।
कुल निकासी = 40 + 50 + 60 = ₹150।
शेष राशि = 0 + 120 − 150 = −₹30।
अतः खाते की शेष राशि −₹30 है। इसका अर्थ है कि जमा राशि से ₹30 अधिक निकाले गए हैं।

उत्तर:
कुल निकासी = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = ₹255।
जमा राशि = ₹256।
शेष राशि = 0 − 255 + 256 = ₹1।
अतः खाते में ₹1 शेष है।

उत्तर:
धनात्मक शेष राशि का अर्थ है कि खाते में हमारे अपने पैसे बचे हैं। इन्हें ज़रूरत पड़ने पर खर्च कर सकते हैं और ऋणात्मक शेष के कारण लगने वाले अतिरिक्त ब्याज या शुल्क से बच सकते हैं।
कभी व्यापार के लिए ज़रूरी सामान अभी खरीदना हो और उससे कुछ दिन बाद आय मिलने वाली हो, तो अस्थायी ऋणात्मक शेष उपयोगी हो सकता है। आय आने पर उस राशि और उसके शुल्क को चुकाना चाहिए।

अभ्यास 2

a. ______ b. ______ c. ______ d. ______
e. ______ f. ______ g. ______

उत्तर:
ग्राफ से बिंदुओं की लगभग ऊँचाइयाँ इस प्रकार हैं—
a. A की ऊँचाई = +1500 मी.
b. B की ऊँचाई = −500 मी.
c. C की ऊँचाई = +300 मी.
d. D की ऊँचाई = −1200 मी.
e. E की ऊँचाई = +1200 मी.
f. F की ऊँचाई = −200 मी.
g. G की ऊँचाई = +100 मी.

समुद्र तल पर ऊँचाई 0 मी. है। इसके ऊपर की ऊँचाई धनात्मक और नीचे की गहराई ऋणात्मक संख्या से लिखते हैं। दो लगातार बिंदीदार रेखाओं का अंतर 100 मी. है।

उत्तर:
सबसे उच्चतम बिंदु A है, जिसकी ऊँचाई लगभग +1500 मी. है।
सबसे निम्नतम बिंदु D है, जिसकी ऊँचाई लगभग −1200 मी. है।

उत्तर:
अवरोही क्रम: A, E, C, G, F, B, D।
क्योंकि +1500 > +1200 > +300 > +100 > −200 > −500 > −1200।

आरोही क्रम: D, B, F, G, C, E, A।
क्योंकि −1200 < −500 < −200 < +100 < +300 < +1200 < +1500।

उत्तर:
समुद्र तल से सबसे ऊँचा स्थान माउंट एवरेस्ट का शिखर है। इसकी ऊँचाई +8848.86 मीटर है। यह समुद्र तल से ऊपर है, इसलिए ऊँचाई धनात्मक लिखी है।

उत्तर:
सबसे निम्नतम बिंदु प्रशांत महासागर की मारियाना गर्त में स्थित चैलेंजर डीप है। यह समुद्र तल से लगभग 10935 मीटर नीचे है।
अतः समुद्र तल के सापेक्ष इसकी ऊँचाई लगभग −10935 मीटर है।

कक्षा 6 गणित प्रकाश के पेज 262 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

उत्तर:
हाँ, लद्दाख के लेह और द्रास तथा हिमाचल प्रदेश के केलांग में सर्दियों में तापमान 0°C से नीचे चला जाता है।
ये ऊँचे पर्वतीय क्षेत्रों में हैं। ऊँचाई बढ़ने पर तापमान सामान्यतः कम होता है और यहाँ सर्दियाँ बहुत ठंडी होती हैं। इसलिए निचले मैदानी स्थानों की तुलना में यहाँ अधिक ठंड पड़ती है।

उत्तर:
दोपहर में धूप के कारण तापमान सबसे अधिक और देर रात में सबसे कम होगा। इसलिए सही मिलान इस प्रकार है-

सुबह 11 बजे तापमान बढ़ रहा होगा, इसलिए 8°C लेते हैं। दोपहर 2 बजे 14°C, रात 11 बजे −2°C और रात 2 बजे −4°C होगा।

कक्षा 6 गणित प्रकाश के पेज 263 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

उत्तर:
ऊपर की पंक्ति: 5 + (−3) + (−5) = 2 − 5 = −3।
नीचे की पंक्ति: (−8) + (−2) + 7 = −10 + 7 = −3।
बायाँ स्तंभ: 5 + 0 + (−8) = −3।
दायाँ स्तंभ: (−5) + (−5) + 7 = −10 + 7 = −3।
चारों सीमाओं का योग −3 है। अतः सीमा योग −3 है।

उत्तर:
हर बाहरी पंक्ति और स्तंभ का योग बताई गई संख्या के बराबर रखते हुए खाली खाने भरते हैं। मैंने ग्रिड इस प्रकार पूरे किए हैं-

पहले ग्रिड में बायाँ स्तंभ: −10 + 5 + 9 = 4। बाकी तीन सीमाओं का योग भी 4 है।
दूसरे ग्रिड में ऊपर: 6 + 8 + (−16) = −2। दाईं ओर: −16 + (−5) + 19 = −2। बाकी दो सीमाओं का योग भी −2 है।
तीसरे ग्रिड में ऊपर: 7 + (−8) + (−3) = −4। नीचे: −5 + (−3) + 4 = −4। दोनों बाहरी स्तंभों का योग भी −4 है।
बीच का खाना किसी सीमा में नहीं आता, इसलिए उसे खाली रखा है।

उत्तर:
हम कुछ खाली खानों में अलग संख्याएँ रखकर बाकी संख्याएँ बदल सकते हैं। दोनों तरीकों में प्रत्येक सीमा का योग −4 है-

पहले तरीके में ऊपर का योग 7 − 7 − 4 = −4 और बाएँ का योग 7 − 7 − 4 = −4 है।
दूसरे तरीके में ऊपर का योग 7 − 6 − 5 = −4 और बाएँ का योग 7 − 9 − 2 = −4 है। नीचे और दाईं ओर के योग भी −4 हैं।

उत्तर:
पहली ग्रिड भी कई तरीकों से भरी जा सकती है। उसमें बाएँ बीच का खाना 5 होगा, लेकिन ऊपर बीच के खाने और ऊपर दाएँ खाने का योग 14 होना चाहिए। यह योग कई जोड़ों से बन सकता है।
जैसे, पहले 10 और 4 लिया था। अब 11 और 3 लेते हैं और बाकी खाने बदल देते हैं-

दूसरी ग्रिड के बाहरी खाने निश्चित हो जाते हैं। ऊपर का दायाँ खाना −16, नीचे का दायाँ 19, नीचे का बायाँ −19 और बाएँ बीच का खाना 11 ही होगा। इसलिए उसकी बाहरी सीमा को केवल एक तरीके से भर सकते हैं। बीच का खाली खाना सीमा योग पर असर नहीं डालता।

उत्तर:
मैंने सीमा योग 6 वाली यह पहेली बनाई है। अपने सहपाठी से चारों बाहरी सीमाओं का योग 6 बनाते हुए खाली खाने भरने को कहूँगा।

हल में ऊपर 2 + 1 + 3 = 6, नीचे 4 − 3 + 5 = 6, बाईं ओर 2 + 0 + 4 = 6 और दाईं ओर 3 − 2 + 5 = 6 है।

कक्षा 6 गणित प्रकाश के पेज 264 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

उत्तर:
हर बार प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ से एक ही संख्या चुनते हैं। मैंने ये चुनाव किए—
• 3 + (−1) + (−2) + (−1) = −1।
• 0 + 4 + 2 + (−7) = −1।
• 4 + (−2) + 7 + (−10) = −1।
हर बार योग −1 मिला। यह पहले वाले योग से भिन्न नहीं है। चित्र में मेरे पहले चुनाव की संख्याओं पर गोले हैं।

उत्तर:
पहली ग्रिड में मैंने ये संख्याएँ चुनीं—
7 + 1 + (−5) + (−11) = −8।
दूसरी बार 16 + 4 + (−8) + (−20) = −8 मिला।
लेकिन 7 + 4 + (−2) + (−7) = 2 भी मिलता है। इस चुनाव में भी हर पंक्ति और हर स्तंभ से केवल एक संख्या ली है।
इसलिए पहली ग्रिड में हमेशा एक ही योग नहीं मिलता। आखिरी पंक्ति के दूसरे खाने में −7 होने पर योग 2 और उसे न चुनने पर योग −8 मिलता है।

दूसरी ग्रिड में—
(−11) + (−6) + (−1) + 4 = −14।
दूसरा चुनाव: (−8) + (−5) + (−2) + 1 = −14।
इस ग्रिड में हर वैध चुनाव का योग −14 मिलता है।

उत्तर:
यह संख्याओं को व्यवस्थित करने का कमाल है। सही पैटर्न वाली ग्रिड में हर पंक्ति, पहली पंक्ति की सभी संख्याओं में एक समान संख्या जोड़ने या घटाने से बनती है। हर पंक्ति और स्तंभ से एक-एक संख्या लेने पर इन बढ़ोतरी या कमी का कुल असर हमेशा एक जैसा रहता है। इसलिए योग नहीं बदलता।

पहली नारंगी ग्रिड में आखिरी पंक्ति का −7 इस क्रम से अलग है। वहाँ −17 होता, तो उस पंक्ति में भी हर बार 3 की बढ़ोतरी होती और सभी चुनावों का योग −8 मिलता। −7 को रखते हुए प्रश्न 2 में मिले दोनों अलग योग सही हैं।

मैंने इसी तरीके से एक नई ग्रिड बनाई है—

इसमें हर पंक्ति में बाएँ से दाएँ 2 बढ़ता है और अगली पंक्ति में हर संख्या 3 बढ़ जाती है। हर पंक्ति और स्तंभ से एक-एक संख्या चुनने पर योग 6 मिलता है। जैसे, −6 + (−1) + 4 + 9 = 6।

कक्षा 6 गणित प्रकाश के पेज 265 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

a. 0 और −7
b. −4 और 4
c. −8 और −15
d. −30 और −23
उत्तर:
बढ़ते क्रम में सबसे छोटी संख्या पहले लिखते हैं। ‘बीच’ की संख्याओं में दिए गए दोनों सिरों को नहीं गिनते।
a. −6, −5, −4, −3, −2, −1।
b. −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3।
c. −14, −13, −12, −11, −10, −9।
d. −29, −28, −27, −26, −25, −24।

उत्तर:
मैंने −5, −4 और 1 लिए हैं।
(−5) + (−4) + 1 = −9 + 1 = −8।
अतः ये तीन संख्याएँ शर्त पूरी करती हैं।

उत्तर:
पहले पासे की हर संख्या को दूसरे पासे की हर संख्या में जोड़ते हैं। सभी संभव योग नीचे हैं-

इनमें −9, −7, −5, 0, 2, 7, 9 और 11 नहीं आते। इसलिए ये संख्याएँ दोनों पासों के योग से प्राप्त नहीं हो सकतीं।

उत्तर:
ऊपर की पंक्ति में बाएँ से दाएँ—
8 − 13 = −5।
(−8) − (13) = −8 − 13 = −21।
(−13) − (−8) = −13 + 8 = −5।
(−13) + (−8) = −(13 + 8) = −21।

नीचे की पंक्ति में बाएँ से दाएँ—
8 + (−13) = 8 − 13 = −5।
(−8) − (−13) = −8 + 13 = 5।
(13) − 8 = 5।
13 − (−8) = 13 + 8 = 21।

a. वर्तमान वर्ष से 150 वर्ष पूर्व कौन-सा वर्ष था? _________
b. वर्तमान वर्ष से 2200 वर्ष पूर्व कौन-सा वर्ष था? _________
संकेत— याद रखिए कि कोई 0 वर्ष नहीं था।
c. 680 ईसा पूर्व से 320 वर्ष बाद कौन-सा वर्ष होगा? _________
उत्तर:
वर्तमान वर्ष 2026 है।
a. 2026 − 150 = 1876। अतः 150 वर्ष पूर्व 1876 ईस्वी था।
b. 1 ईस्वी से ठीक पहले 1 ईसा पूर्व आता है; बीच में 0 वर्ष नहीं है। इसलिए 2200 वर्ष पहले का वर्ष = 2200 − 2026 + 1 = 175 ईसा पूर्व।
c. ईसा पूर्व में आगे बढ़ने पर वर्ष की संख्या घटती है। 680 − 320 = 360। अतः 320 वर्ष बाद 360 ईसा पूर्व होगा।

a. (−40), (−34), (−28), (−22), ____, ____, ____
b. 3, 4, 2, 5, 1, 6, 0, 7, ____, ____, ____
c. ____, ____, 12, 6, 1, (−3), (−6), ____, ____, ____, ____
उत्तर:
a. हर बार 6 जोड़ते हैं। पूरा अनुक्रम है—
−40, −34, −28, −22, −16, −10, −4।

b. एक छोड़कर संख्याएँ 3, 2, 1, 0, −1, −2 हैं। बीच की संख्याएँ 4, 5, 6, 7, 8 हैं। इसलिए पूरा अनुक्रम है—
3, 4, 2, 5, 1, 6, 0, 7, −1, 8, −2।

c. क्रमशः 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 घटाते हैं और फिर 1 जोड़ते हैं। पूरा अनुक्रम है—
27, 19, 12, 6, 1, −3, −6, −8, −9, −9, −8।

यहाँ एक पद है— (+18) + (+1) − (+7) − (−2) जिसका मान (+14) है। दिए गए कार्ड्स से एक से अधिक कार्ड का चयन कीजिए और एक पद बनाइए जिसका मान (−30) के आस-पास हो।
उत्तर:
मैंने (−5), (+7) और (+18) कार्ड चुने हैं।
(−5) − (+7) − (+18) = −5 − 7 − 18 = −30।
इसका मान ठीक −30 है।

a. (धनात्मक) − (ऋणात्मक)
b. (धनात्मक) + (ऋणात्मक)
c. (ऋणात्मक) + (ऋणात्मक)
d. (ऋणात्मक) − (ऋणात्मक)
e. (ऋणात्मक) − (धनात्मक)
f. (ऋणात्मक) + (धनात्मक)
उत्तर:
a. सदैव धनात्मक होगा। ऋणात्मक संख्या घटाना धनात्मक संख्या जोड़ने के समान है। जैसे, 3 − (−2) = 3 + 2 = 5।
b. धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है। जैसे, 5 + (−2) = 3; 2 + (−5) = −3; 3 + (−3) = 0।
c. सदैव ऋणात्मक होगा। जैसे, (−3) + (−2) = −5।
d. धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है। जैसे, (−2) − (−5) = 3; (−5) − (−2) = −3; (−4) − (−4) = 0।
e. सदैव ऋणात्मक होगा। जैसे, (−3) − 2 = −5।
f. धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है। जैसे, (−2) + 5 = 3; (−5) + 2 = −3; (−3) + 3 = 0।

दो बराबर धनात्मक पूर्णांकों को घटाने पर भी शून्य मिलता है, जैसे 4 − 4 = 0।

उत्तर:
हर 5 टोकन के समूह में 3 धनात्मक और 2 ऋणात्मक टोकन हैं।
एक समूह का मान = 3 − 2 = 1।
100 टोकन में ऐसे समूहों की संख्या = 100 ÷ 5 = 20।
अतः पूरी लड़ी का मान 20 × 1 = +20 है।

कक्षा 6 गणित प्रकाश के पेज 268 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

उत्तर:
हाँ, संख्या रेखा से इन्हें समझ सकते हैं।
• धनात्मक संख्या जोड़ने पर दाईं ओर और ऋणात्मक संख्या जोड़ने पर बाईं ओर चलते हैं। इसलिए दो धनात्मक संख्याओं का योग धनात्मक और दो ऋणात्मक संख्याओं का योग ऋणात्मक होता है।
• अलग-अलग चिह्न वाली संख्याएँ जोड़ने पर विपरीत दिशाओं में चलते हैं। जिस दिशा के कदम अधिक होते हैं, परिणाम उसी चिह्न का होता है। बराबर कदम होने पर वापस 0 पर पहुँचते हैं।
• धनात्मक संख्या घटाने पर बाईं ओर चलते हैं। धनात्मक संख्या से शुरू करके उसके मान से कम कदम चलें तो धनात्मक भाग में रहते हैं; अधिक कदम चलें तो 0 पार करके ऋणात्मक भाग में पहुँचते हैं।
• ऋणात्मक संख्या घटाना उतनी धनात्मक संख्या जोड़ने जैसा है, इसलिए दाईं ओर चलते हैं।
• शून्य जोड़ने या घटाने पर कोई कदम नहीं चलते, इसलिए संख्या वही रहती है। किसी संख्या को उसी में से घटाने पर 0 मिलता है। शून्य में से कोई संख्या घटाने पर उसका योज्य प्रतिलोम मिलता है।

जैसे, −2 में 5 जोड़ने पर 5 कदम दाईं ओर चलकर 3 पर पहुँचते हैं। 2 में से −3 घटाने पर 3 कदम दाईं ओर चलकर 5 पर पहुँचते हैं।

उत्तर:
योग के नियमों के उदाहरण—
• दो धनात्मक संख्याएँ: 4 + 7 = 11।
• दो ऋणात्मक संख्याएँ: (−4) + (−6) = −10।
• अलग-अलग चिह्न: 8 + (−3) = 5 और (−8) + 3 = −5।
• संख्या और उसका योज्य प्रतिलोम: 6 + (−6) = 0।
• संख्या में शून्य जोड़ना: (−9) + 0 = −9 और 0 + 0 = 0।

घटाने के नियमों के उदाहरण—
• बड़ी धनात्मक संख्या में से छोटी घटाना: 9 − 4 = 5।
• छोटी धनात्मक संख्या में से बड़ी घटाना: 4 − 9 = −5।
• ऋणात्मक संख्या घटाना: 5 − (−4) = 5 + 4 = 9।
• संख्या को उसी में से घटाना: 7 − 7 = 0 और (−7) − (−7) = 0।
• शून्य घटाना: (−6) − 0 = −6 और 0 − 0 = 0। शून्य में से संख्या घटाना: 0 − (−6) = 6 तथा 0 − 6 = −6।

अध्याय 10 में जोड़-घटाव के प्रश्न हल करते समय संख्या रेखा पर आगे-पीछे चलकर अपने उत्तर जाँचें और याद रखें कि शून्य न धनात्मक है, न ऋणात्मक। यह पुस्तक का अंतिम अध्याय है, इसलिए पूरी पुस्तक दोहराने के लिए कक्षा 6 गणित एनसीईआरटी समाधान पृष्ठ पर सभी अध्यायों के समाधान देखें।