एनसीईआरटी समाधान कक्षा 6 गणित प्रकाश अध्याय 8 रचनाओं के साथ खेलना

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कक्षा 6 गणित प्रकाश अध्याय 8 के एनसीईआरटी समाधान हिंदी माध्यम में दिए गए हैं। इसमें वर्ग और आयत की विशेषताएँ, दी गई भुजाओं या विकर्ण से उनकी रचना, विकर्णों की खोज तथा दो दिए हुए बिंदुओं से समदूरस्थ बिंदु ज्ञात करना सम्मिलित है। रचना वाले प्रश्नों के हल सत्र 2026-27 की पुस्तक के अनुसार क्रमबद्ध चरणों में दिए गए हैं।
कक्षा 6 गणित प्रकाश के पेज 190 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

आप इसे कैसे बनाएँगे?

उत्तर:
इस आकृति को बनाने के लिए पहले सिर और फिर नीचे का भाग बनाएँगे।

• एक बिंदु O को केंद्र मानकर परकार से सिर के लिए वृत्त खींचते हैं।
• वृत्त के नीचे, O के दोनों ओर बराबर दूरी पर P और Q बिंदु लेते हैं। O से P और Q की दूरी बराबर रखते हैं।
• O को केंद्र मानकर और OP के बराबर परकार खोलकर P से Q तक नीचे की ओर झुका हुआ छोटा चाप खींचते हैं। यह गले के नीचे वाला वक्र है।
• वृत्त के सबसे निचले बिंदु को सीधे नीचे इस चाप से जोड़ते हैं। इससे गर्दन बनती है।
• P और Q से बराबर लंबाई की दो खड़ी रेखाएँ नीचे खींचकर उनके सिरों को जोड़ देते हैं।

यह बनाइए।

उत्तर:

• रूलर से AB = 8 सेमी का रेखाखंड खींचते हैं और उसका बीच का बिंदु X लेते हैं। तब AX = XB = 4 सेमी होगा।
• AX के बीच का बिंदु O₁ और XB के बीच का बिंदु O₂ अंकित करते हैं।
• O₁ को केंद्र मानकर 2 सेमी त्रिज्या का अर्धवृत्त AX के ऊपर खींचते हैं।
• उतनी ही त्रिज्या से O₂ को केंद्र मानकर दूसरा अर्धवृत्त XB के नीचे खींचते हैं।
• दोनों अर्धवृत्तों में बराबर-बराबर दूरी पर सीधी रेखाएँ खींचकर लहर पूरी करते हैं।

आप परकार की सहायता से ये आँखें कैसे बनाएँगे?

उत्तर:

• आँख के दोनों सिरे P और Q लेते हैं और उनका बीच का बिंदु M अंकित करते हैं।
• M से ऊपर और नीचे बराबर दूरी पर A और B लेते हैं। A और B, दोनों P और Q से बराबर दूरी पर होंगे।
• B को केंद्र मानकर और BP के बराबर परकार खोलकर P से Q तक ऊपर वाला चाप खींचते हैं।
• उतना ही परकार खोलकर A को केंद्र मानते हैं और P से Q तक नीचे वाला चाप खींचते हैं।
• M को केंद्र मानकर छोटा वृत्त बनाते हैं और उसे रंगकर पुतली बनाते हैं।
• दूसरी आँख भी उतनी ही चौड़ाई और उसी परकार की दूरी से बनाते हैं। इससे दोनों आँखें एक जैसी बनेंगी।

उत्तर:
मैंने परकार से एक फूल बनाया है।
पहले एक वृत्त खींचा और उसकी परिधि पर एक बिंदु लिया। परकार की दूरी बदले बिना परिधि पर लगातार बिंदु लगाकर छह बराबर दूरियों पर केंद्र बनाए। फिर इन छह केंद्रों से उसी त्रिज्या के वृत्त खींचे। रूलर से नीचे डंठल खींचा।

कक्षा 6 गणित प्रकाश के पेज 191 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

उत्तर:
AB की लंबाई 8 सेमी है। दोनों लहरें बराबर बनाने के लिए X को AB के बीच में लेते हैं।
इसलिए AX = 8 ÷ 2 = 4 सेमी।
पहले अर्धवृत्त का व्यास AX है। उसकी त्रिज्या व्यास की आधी होगी।
त्रिज्या = 4 ÷ 2 = 2 सेमी।
अतः परकार में 2 सेमी की दूरी रखेंगे और AX की लंबाई 4 सेमी होगी।

उत्तर:
मैंने AB = 12 सेमी का रेखाखंड लिया है।

• उसका बीच का बिंदु X लिया। तब AX = XB = 6 सेमी होगा।
• AX और XB के बीच के बिंदु क्रमशः O₁ और O₂ लिए।
• परकार में 3 सेमी की दूरी रखकर O₁ से AX के ऊपर और O₂ से XB के नीचे अर्धवृत्त खींचे।

इस प्रकार दोनों लहरें बराबर बनीं।

उत्तर:

• AB = 8 सेमी का रेखाखंड खींचते हैं और बीच में X लेते हैं। तब AX = XB = 4 सेमी होगा।
• AX के बीच के बिंदु O₁ से 2 सेमी नीचे C लेते हैं। XB के बीच के बिंदु O₂ से 2 सेमी ऊपर D लेते हैं। ये दोनों छोटी रेखाएँ AB पर लंब होंगी।
• C को केंद्र मानकर और CA के बराबर परकार खोलकर A से X तक ऊपर वाला छोटा चाप खींचते हैं।
• परकार की दूरी बदले बिना D को केंद्र मानकर X से B तक नीचे वाला छोटा चाप खींचते हैं।
  दोनों हिस्सों की चौड़ाई और दोनों केंद्रों की दूरी बराबर है। इसलिए दोनों लहरें समान हैं और अर्धवृत्त से छोटी हैं।

कक्षा 6 गणित प्रकाश के पेज 194 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

उत्तर:
पहले बीच में एक आयत खींचते हैं। फिर चारों कोनों की ओर समान आकार के चार वर्ग बनाते हैं।
बाएँ और दाएँ के वर्ग आयत से बराबर दूरी पर रखते हैं। इसी प्रकार ऊपर और नीचे के वर्गों की दूरी भी बराबर रखते हैं। डॉट पेपर की जालियाँ गिनकर इन दूरियों को बराबर रख सकते हैं।
आयत के बीच से खींची गई खड़ी और आड़ी रेखाओं के दोनों ओर आकृति एक जैसी होगी। इसलिए चारों वर्ग आयत के चारों ओर सममित रूप से होंगे।

सोचिए— उपरोक्त आकृति में बिना मापन उपकरणों को प्रयोग किए, क्या यह बताना संभव है कि भुजाएँ बराबर हैं या नहीं, कोण समकोण हैं या नहीं? क्या हम यह केवल डॉट पेपर में शीर्षों की स्थिति देखकर ज्ञात कर सकते हैं?
उत्तर:
केवल आकृति A वर्ग है। इसकी चारों भुजाएँ बराबर हैं और चारों कोण 90° हैं।
आकृतियों B और C की चारों भुजाएँ बराबर हैं, लेकिन उनके कोण समकोण नहीं हैं। इसलिए वे वर्ग नहीं हैं।
आकृति D में सामने की भुजाएँ बराबर हैं और कोण समकोण हैं। इसकी पास-पास की भुजाएँ बराबर नहीं हैं। इसलिए यह आयत है, वर्ग नहीं।

हाँ, डॉट पेपर के बिंदुओं से भी जाँच सकते हैं। हर भुजा के एक सिरे से दूसरे सिरे तक आड़ी और खड़ी जालियाँ गिनते हैं। A की हर भुजा में दोनों दिशाओं में 4-4 जालियाँ हैं। एक भुजा की दिशा को चौथाई चक्कर घुमाने पर अगली भुजा की दिशा मिलती है। इससे बराबर भुजाओं और समकोणों की जाँच हो जाती है।

उत्तर:
मैंने डॉट पेपर पर तीन घुमाए गए वर्ग और तीन घुमाए गए आयत बनाए हैं। इनके सभी कोने डॉट्स पर हैं।
वर्गों की चारों भुजाएँ बराबर और चारों कोण 90° हैं। आयतों में सामने की भुजाएँ बराबर और चारों कोण 90° हैं। इसलिए ये आकृतियाँ वर्ग और आयत के गुणों को संतुष्ट करती हैं।

कक्षा 6 गणित प्रकाश के पेज 197 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

उत्तर:
रचना के चरण-

• रूलर से AB = 6 सेमी का रेखाखंड खींचते हैं।
• चाँदे की सहायता से A और B पर AB के एक ही ओर 90° के कोण बनाते हैं।
• इन लंब रेखाओं पर AD = 4 सेमी और BC = 4 सेमी काटते हैं।
• C और D को मिलाते हैं। इस प्रकार आयत ABCD बन जाता है।

जाँच करने पर AB = CD = 6 सेमी और AD = BC = 4 सेमी मिलता है। चारों कोण 90° हैं।
इसलिए यह आयत के दोनों गुणों को संतुष्ट करता है।

उत्तर:
रचना के चरण-

• AB = 10 सेमी का रेखाखंड खींचते हैं।
• A और B पर AB के एक ही ओर लंब खींचते हैं।
• इन पर AD = 2 सेमी और BC = 2 सेमी काटते हैं।
• C और D को मिलाते हैं। आयत ABCD तैयार है।

इसमें AB = CD = 10 सेमी और AD = BC = 2 सेमी हैं। चारों कोणों को चाँदे से जाँचने पर वे 90° के मिलते हैं। अतः आयत के दोनों गुण पूरे होते हैं।

• सभी कोण 90° के बराबर हों, परंतु
• सम्मुख भुजाएँ बराबर नहीं हों?
उत्तर:
नहीं, ऐसी आकृति बनाना संभव नहीं है। चारों कोण 90° होने पर आकृति आयत होगी। आयत की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं। इसलिए चार समकोण रखते हुए सम्मुख भुजाओं को असमान नहीं रख सकते।

कक्षा 6 गणित प्रकाश के पेज 201 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

8 सेमी और 4 सेमी भुजाओं वाले एक आयत की रचना कीजिए। इस आयत के अंदर आप नीचे आकृति में दर्शाए अनुसार एक वर्ग की रचना किस प्रकार करेंगे, जिससे कि यह वर्ग आयत के ठीक बीचों-बीच रहे?

संकेत— एक कच्ची (रफ़) आकृति खींचिए। इस वर्ग की भुजा क्या होगी? बाहरी आयत और वर्ग के कोनों के बीच में कितनी दूरी होगी?
उत्तर:
वर्ग की भुजा आयत की चौड़ाई के बराबर, अर्थात् 4 सेमी होगी।
आयत की लंबाई में बची जगह = 8 − 4 = 4 सेमी।
दोनों ओर बराबर जगह रखने पर प्रत्येक ओर की दूरी = 4 ÷ 2 = 2 सेमी।

रचना के चरण-

• AB = 8 सेमी और AD = BC = 4 सेमी लेकर आयत ABCD बनाते हैं।
• AB पर A से 2 सेमी दूर P और B से 2 सेमी दूर Q अंकित करते हैं।
• DC पर D से 2 सेमी दूर S और C से 2 सेमी दूर R अंकित करते हैं।
• P को S से और Q को R से मिलाते हैं।

PQ = QR = RS = SP = 4 सेमी और चारों कोण 90° हैं। इसलिए PQRS एक वर्ग है। इसके बाईं और दाईं ओर 2–2 सेमी जगह है, इसलिए यह आयत के ठीक बीच में है।

अब, यह प्रयास कीजिए

उत्तर:
पहली आकृति-

• 4 सेमी भुजा वाला एक वर्ग बनाते हैं।
• उसके ऊपरी दाएँ कोने को अगले वर्ग का निचला बायाँ कोना मानते हैं। वहाँ से दाईं ओर और ऊपर की ओर 4–4 सेमी भुजाएँ लेकर दूसरा वर्ग बनाते हैं।
• इसी प्रकार दूसरे वर्ग के ऊपरी दाएँ कोने से तीसरा 4 सेमी भुजा वाला वर्ग बनाते हैं।

दूसरी आकृति-

• सबसे नीचे 7 सेमी भुजा वाला वर्ग बनाते हैं।
• उसके ऊपरी दाएँ कोने से इसी तरह 5 सेमी भुजा वाला वर्ग बनाते हैं।
• दूसरे वर्ग के ऊपरी दाएँ कोने से 3 सेमी भुजा वाला वर्ग बनाते हैं।

दोनों आकृतियों में साथ वाले वर्ग केवल एक कोने पर मिलते हैं। सभी क्षैतिज भुजाएँ एक-दूसरे के समानांतर हैं और सभी खड़ी भुजाएँ भी एक-दूसरे के समानांतर हैं।

दी गई आकृति को बनाइए। अपनी इच्छा से मापन चुनिए। ध्यान दीजिए कि बड़ी चतुर्भुजीय आकृति एक वर्ग है तथा इसी प्रकार छोटी आकृतियाँ भी वर्ग हैं।

उत्तर:
मैंने बड़े वर्ग की भुजा 8 सेमी और सबसे छोटे वर्ग की भुजा 2 सेमी ली है।

• 8 सेमी भुजा का वर्ग बनाते हैं और प्रत्येक भुजा पर 2–2 सेमी की दूरी पर निशान लगाते हैं।
• ऊपर के आधे भाग में 2 सेमी भुजा वाले छोटे वर्गों की दो पंक्तियाँ बनाते हैं। प्रत्येक पंक्ति में चार वर्ग होंगे।
• नीचे के दाएँ भाग में 2 सेमी भुजा के चार छोटे वर्ग बनाते हैं। नीचे के बाएँ भाग में 4 सेमी भुजा का एक वर्ग रखते हैं।
• सबसे नीचे की पंक्ति में बाईं ओर वाले छोटे वर्ग को खाली रखते हैं। बाकी सभी छोटे वर्गों में ऊपर के बाएँ कोने से नीचे के दाएँ कोने तक विकर्ण खींचते हैं।
• इन विकर्णों के ऊपर-दाईं ओर बने त्रिकोणीय भागों में छायांकन करते हैं।

इस प्रकार एक बड़ा खाली वर्ग, एक छोटा खाली वर्ग और 11 छायांकित त्रिकोण बनते हैं।

ध्यान दें कि वृत्ताकार छेद, वर्ग के ठीक बीचों बीच है।
संकेत— सोचिए कि वृत्त का केंद्र कहाँ होना चाहिए।
उत्तर:

• 6 सेमी भुजा वाला वर्ग ABCD बनाते हैं।
• उसके दोनों विकर्ण AC और BD हल्की रेखाओं से खींचते हैं। इनके मिलने वाले बिंदु को O कहते हैं।
• O को केंद्र और 1.5 सेमी को त्रिज्या लेकर परकार से वृत्त बनाते हैं।

दोनों विकर्ण वर्ग के केंद्र पर मिलते हैं। इसलिए O केंद्र वाला वृत्त वर्ग के ठीक बीच में है।

उत्तर:

• 8 सेमी भुजा वाला एक वर्ग बनाते हैं।
• चारों भुजाओं के मध्यबिंदु अंकित करते हैं। आमने-सामने के मध्यबिंदुओं को मिलाते हैं। इससे 4 सेमी भुजा वाले चार बराबर वर्ग बनते हैं।
• प्रत्येक छोटे वर्ग के दोनों विकर्ण हल्के से खींचकर उसका केंद्र ढूँढ़ते हैं।
• प्रत्येक केंद्र से 1 सेमी त्रिज्या का वृत्त बनाते हैं। सभी वृत्तों के लिए परकार का फैलाव समान रखते हैं।

इस प्रकार चार बराबर वृत्त बनते हैं। हर वृत्त अपने छोटे वर्ग के ठीक बीच में है।

यह 8 सेमी की भुजा का एक वर्ग है।

संकेत— सोचिए कि परकार के नुकीले सिरे को कहाँ रखा जाए ताकि चारों चाप (arc) प्रत्येक भुजा से समान रूप से उभरें। प्रयत्न कीजिए!
उत्तर:

• 8 सेमी भुजा का वर्ग ABCD बनाते हैं। उसकी चारों भुजाओं के मध्यबिंदु अंकित करते हैं।
• प्रत्येक मध्यबिंदु से वर्ग के बाहर की ओर उस भुजा पर लंब खींचते हैं। हर लंब पर भुजा से 4 सेमी दूर एक बिंदु लेते हैं। इन बिंदुओं को O₁, O₂, O₃ और O₄ कहते हैं।
• ऊपर वाले बिंदु O₁ पर परकार की नोक रखते हैं और पेंसिल को ऊपर की भुजा के एक सिरे तक खोलते हैं। दोनों सिरों को मिलाता हुआ वर्ग के अंदर की ओर चाप खींचते हैं।
• परकार का फैलाव बदले बिना बाकी तीन केंद्रों से भी उनकी सामने वाली भुजा के सिरों को मिलाने वाले चाप खींचते हैं।

चारों केंद्र अपनी भुजाओं के मध्य से समान दूरी पर हैं और सभी चापों की त्रिज्या समान है। इसलिए चारों वक्र एक जैसे बनते हैं।

कक्षा 6 गणित प्रकाश के पेज 211 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

उत्तर:
हम आयत ABCD बनाते हैं, जिसका विकर्ण AC है।

चरण 1: रूलर से 5 सेमी लंबा रेखाखंड AB खींचते हैं।
चरण 2: चाँदे की सहायता से A पर AB के साथ 50° का कोण बनाकर एक किरण खींचते हैं।
चरण 3: B पर AB की लंब रेखा खींचते हैं। यह किरण से जहाँ मिले, उस बिंदु को C कहते हैं।
चरण 4: A पर AB की लंब रेखा और C पर BC की लंब रेखा खींचते हैं। दोनों के मिलने वाले बिंदु को D कहते हैं।

आयत का प्रत्येक कोण 90° है। इसलिए A पर बचा हुआ कोण = 90° − 50° = 40° होगा। चाँदे से जाँचने पर C पर भी विकर्ण से बने कोण 50° और 40° मिलते हैं। अतः ABCD वांछित आयत है।

उत्तर:
चरण 1: 5 सेमी लंबा रेखाखंड AB खींचते हैं।
चरण 2: A पर AB के साथ 45° का कोण बनाकर एक किरण खींचते हैं।
चरण 3: B पर AB की लंब रेखा खींचते हैं। यह किरण को C पर काटती है।
चरण 4: A पर AB की लंब रेखा और C पर BC की लंब रेखा खींचते हैं। इनका प्रतिच्छेद बिंदु D है।

विकर्ण AC, A और C के समकोणों को 45° और 45° में बाँटता है। रूलर से मापने पर AB = BC = CD = DA = 5 सेमी मिलता है।
इस आयत की चारों भुजाएँ बराबर हैं। इसलिए यह एक वर्ग भी है।

उत्तर:
चरण 1: 4 सेमी लंबा रेखाखंड DC खींचते हैं।
चरण 2: C पर DC की लंब रेखा खींचते हैं।
चरण 3: परकार में 8 सेमी की दूरी लेकर D को केंद्र मानकर एक चाप खींचते हैं। यह C से खींची गई लंब रेखा को ऊपर की ओर B पर काटता है। इसलिए DB = 8 सेमी है।
चरण 4: D पर DC की लंब रेखा और B पर BC की लंब रेखा खींचते हैं। दोनों रेखाओं के मिलने वाले बिंदु को A कहते हैं।
चरण 5: विकर्ण DB खींचते हैं और चारों कोणों के समकोण होने की जाँच करते हैं।

इस प्रकार आयत ABCD तैयार है, जिसमें DC = 4 सेमी और विकर्ण DB = 8 सेमी है।

उत्तर:
चरण 1: 3 सेमी लंबा रेखाखंड DC खींचते हैं।
चरण 2: C पर DC की लंब रेखा खींचते हैं।
चरण 3: D को केंद्र और 7 सेमी त्रिज्या लेकर एक चाप खींचते हैं। यह लंब रेखा को ऊपर की ओर B पर काटता है। इसलिए DB = 7 सेमी है।
चरण 4: D पर DC की लंब रेखा और B पर BC की लंब रेखा खींचते हैं। इनका प्रतिच्छेद बिंदु A है।
चरण 5: DB को मिलाते हैं और चारों कोणों के समकोण होने की जाँच करते हैं।

आयत ABCD में DC = 3 सेमी और विकर्ण DB = 7 सेमी है।

कक्षा 6 गणित प्रकाश के पेज 215 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

उत्तर:
चरण 1: 7 सेमी लंबा रेखाखंड DE खींचते हैं।
चरण 2: D और E पर DE की लंब रेखाएँ खींचते हैं। इन पर DB = 7 सेमी और EC = 7 सेमी काटते हैं।
चरण 3: B और C को केंद्र मानकर 7 सेमी त्रिज्या के दो चाप खींचते हैं। ऊपर की ओर उनके मिलने वाले बिंदु को A कहते हैं।
चरण 4: AB और AC को मिलाते हैं। अब AB = AC = BD = CE = DE = 7 सेमी है।
चरण 5: A को केंद्र और 7 सेमी त्रिज्या लेकर B से C तक घर के अंदर की ओर चाप खींचते हैं। नीचे बीच में एक छोटा आयताकार दरवाज़ा बनाते हैं।

घर की बाहरी सीमा बनाने वाली पाँचों भुजाएँ 7 सेमी लंबी हैं।

उत्तर:
एक व्यक्ति
पहले शरीर की नीचे वाली और दोनों खड़ी भुजाएँ खींचते हैं। ऊपर के दोनों सिरों P और Q से समान दूरी पर, उनके बीच के ऊपर एक बिंदु O लेते हैं। O को केंद्र और OP के बराबर त्रिज्या लेकर P से Q तक नीचे की ओर छोटा चाप खींचते हैं। इससे गले की गोलाई बनती है। O को ही केंद्र लेकर छोटी त्रिज्या का वृत्त बनाते हैं। यह सिर है। सिर के नीचे से गले के चाप तक सीधी रेखा खींचकर गर्दन बनाते हैं।

तरंगित लहर
8 सेमी लंबा रेखाखंड AB खींचते हैं। इसके बीच का बिंदु X लेते हैं, जिससे AX = XB = 4 सेमी हो। AX और XB के बीच के बिंदु लेते हैं। इन बिंदुओं को केंद्र तथा 2 सेमी त्रिज्या लेकर AX पर ऊपर की ओर और XB पर नीचे की ओर अर्धवृत्त खींचते हैं। दोनों लहरें बराबर बनती हैं।

आँखें
एक छोटा क्षैतिज रेखाखंड खींचते हैं। उसके मध्यबिंदु के ठीक ऊपर और नीचे समान दूरी पर दो केंद्र लेते हैं। नीचे वाले केंद्र से दोनों सिरों को जोड़ता हुआ ऊपर का चाप और ऊपर वाले केंद्र से नीचे का चाप खींचते हैं। दोनों बार परकार का फैलाव समान रखते हैं। आँख के बीच में छोटा वृत्त बनाकर रंगते हैं। समान माप लेकर बगल में दूसरी आँख बनाते हैं। अंत में सहायक रेखाएँ मिटा देते हैं।

उत्तर:
हाँ, ऐसी आकृति बनाई जा सकती है। इसके लिए चारों भुजाएँ बराबर रखते हैं, लेकिन सभी कोण समकोण नहीं रखते।

चरण 1: 5 सेमी लंबा रेखाखंड AC खींचते हैं।
चरण 2: A पर AC से 60° का कोण बनाकर एक किरण खींचते हैं। इस पर AB = 5 सेमी काटते हैं।
चरण 3: B और C को केंद्र तथा 5 सेमी त्रिज्या लेकर चाप खींचते हैं। ये A के अलावा जहाँ मिलते हैं, उस बिंदु को D कहते हैं।
चरण 4: BD और CD को मिलाते हैं।

आकृति ABDC में AB = BD = DC = CA = 5 सेमी है। लेकिन ∠BAC = 60° है, जो समकोण नहीं है। इसलिए चारों भुजाएँ बराबर होने पर भी यह वर्ग नहीं है।

अध्याय 8 की रचनाएँ केवल पढ़कर नहीं सीखी जा सकतीं, इसलिए हर रचना से पहले एक कच्ची आकृति बनाएँ और फिर परकार तथा पटरी से उसे सावधानी से बनाएँ। ज्यामिति के अन्य अध्यायों सहित सभी अध्याय कक्षा 6 गणित एनसीईआरटी समाधान पृष्ठ पर उपलब्ध हैं।