एनसीईआरटी समाधान कक्षा 7 गणित प्रकाश भाग 1 अध्याय 8 भिन्नों के साथ कार्य करना
कक्षा 7 गणित प्रकाश भाग 1 अध्याय 8 ‘भिन्नों के साथ कार्य करना’ के एनसीईआरटी समाधान – अभ्यास के हल सरल भाषा में सत्र 2026-27 के लिए यहाँ दिए गए हैं। भाग 1 का यह अंतिम अध्याय भिन्नों के गुणन को क्षेत्रफल वाले चित्रों से समझाता है और ब्रह्मगुप्त के सूत्र से जोड़ता है।
एनसीईआरटी कक्षा 7 गणित प्रकाश भाग 1 अध्याय 8 समाधान
कक्षा 7 गणित प्रकाश भाग 1 अध्याय 8 ‘भिन्नों के साथ कार्य करना’ के प्रश्न-उत्तर हिंदी माध्यम में दिए गए हैं। इसमें भिन्नों का विभाजन, व्युत्क्रम की सहायता से भाग देना और दैनिक जीवन से जुड़ी भिन्नों की समस्याएँ सम्मिलित हैं। ‘इतिहास की एक झलक’ सहित ‘पता लगाइए’ के प्रश्नों के हल सत्र 2026-27 की पुस्तक के अनुसार चरणबद्ध हैं।
कक्षा 7 गणित प्रकाश के पेज 176 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:
पेज 176 – पता लगाइए
1. तेनजिन प्रतिदिन 1/2 गिलास दूध पीता है। वह एक सप्ताह में कितने गिलास दूध पीता है? उसने जनवरी माह में कितने गिलास दूध पिया?
उत्तर:
एक सप्ताह में 7 दिन होते हैं। हर दिन आधा गिलास दूध पीने पर 7 दिनों में दूध की मात्रा = 7 × 1/2 = 7/2 = 3 1/2 गिलास।
जनवरी में 31 दिन होते हैं। इसलिए उसने जनवरी में 31 × 1/2 = 31/2 = 15 1/2 गिलास दूध पिया।
2. श्रमिकों का एक समूह 1 कि.मी. लंबी एक पानी की नहर को 8 दिनों में बना सकता है। अतः यह समूह एक दिन में __________ कि.मी. पानी की नहर बना सकता है। यदि वे एक सप्ताह में 5 दिन कार्य करते हैं तो वे एक सप्ताह में __________ कि.मी. पानी की नहर बना सकते हैं।
उत्तर:
एक ही गति से काम करने पर 1 कि.मी. नहर का काम 8 दिनों में बराबर बँटता है। इसलिए एक दिन में 1 ÷ 8 = 1/8 कि.मी. नहर बनती है।
5 दिन में बनी नहर की लंबाई = 5 × 1/8 = 5/8 कि.मी.।
अतः रिक्त स्थानों में क्रम से 1/8 और 5/8 आएँगे।
3. मंजू और उसकी दो पड़ोसन मिलकर प्रत्येक सप्ताह 5 लीटर तेल खरीदती हैं और उसे समान मात्रा में 3 परिवारों के बीच साझा करती हैं? प्रत्येक परिवार को एक सप्ताह में कितना तेल मिलता है? एक परिवार को 4 सप्ताह में कितना तेल प्राप्त होगा?
उत्तर:
5 लीटर तेल 3 परिवारों में बराबर बाँटने पर प्रत्येक परिवार को एक सप्ताह में 5 ÷ 3 = 5/3 = 1 2/3 लीटर तेल मिलता है।
4 सप्ताह में उसी परिवार को 4 × 5/3 = 20/3 = 6 2/3 लीटर तेल मिलेगा।
4. साफिया ने सोमवार को रात 10 बजे चंद्रमा को अस्त होते देखा। उसकी माताजी एक वैज्ञानिक हैं। उन्होंने बताया कि चंद्रमा प्रत्येक दिन पिछले दिन की तुलना में 5/6 घंटे देर से अस्त होता है। चंद्रमा बृहस्पतिवार को रात 10 बजे के कितने घंटे बाद अस्त होगा?
उत्तर:
सोमवार से मंगलवार, मंगलवार से बुधवार और बुधवार से बृहस्पतिवार तक कुल 3 दिन का अंतर है।
इसलिए चंद्रमा के अस्त होने में कुल देरी = 3 × 5/6 = 15/6 = 2 1/2 घंटे।
अतः चंद्रमा बृहस्पतिवार को रात 10 बजे के 2 घंटे 30 मिनट बाद, यानी आधी रात के 30 मिनट बाद अस्त होगा।
5. गुणा कीजिए और उसे मिश्रित भिन्न में बदलिए।
(a) 7 × 3/5
(b) 4 × 1/3
(c) 9/7 × 6
(d) 13/11 × 6
उत्तर:
पूर्ण संख्या को भिन्न से गुणा करने पर अंश को उस पूर्ण संख्या से गुणा करते हैं और हर वही रखते हैं। फिर अंश को हर से भाग देकर मिश्रित भिन्न लिखते हैं।
(a) 7 × 3/5 = 21/5। 21 को 5 से भाग देने पर भागफल 4 और शेष 1 है। इसलिए 21/5 = 4 1/5।
(b) 4 × 1/3 = 4/3 = 1 1/3।
(c) 9/7 × 6 = 54/7 = 7 5/7।
(d) 13/11 × 6 = 78/11 = 7 1/11।
कक्षा 7 गणित प्रकाश के पेज 180 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:
पेज 180 – पता लगाइए
1. निम्नलिखित गुणनफलों को ज्ञात कीजिए। भिन्न को प्रदर्शित करने के लिए एक इकाई वर्ग को एक पूर्ण के रूप में उपयोग कीजिए।
(a) 1/3 × 1/5
(b) 1/4 × 1/3
(c) 1/5 × 1/2
(d) 1/6 × 1/5
अब 1/12 × 1/18 ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
प्रत्येक चित्र में पूरा वर्ग 1 है। पीली पट्टी दूसरी भिन्न को दिखाती है। उस पट्टी का जितना भाग पहली भिन्न के अनुसार लेना है, उस पर तिरछी रेखाएँ खींची गई हैं।
(a) वर्ग को 5 पंक्तियों और 3 स्तंभों में बाँटने पर 15 बराबर खाने बने। एक पंक्ति का 1/3 लेने पर एक खाना मिलता है। इसलिए 1/3 × 1/5 = 1/15।
(b) 3 पंक्तियों और 4 स्तंभों के 12 खानों में से एक खाना लिया है। इसलिए 1/4 × 1/3 = 1/12।
(c) 2 पंक्तियों और 5 स्तंभों के 10 खानों में से एक खाना लिया है। इसलिए 1/5 × 1/2 = 1/10।
(d) 5 पंक्तियों और 6 स्तंभों के 30 खानों में से एक खाना लिया है। इसलिए 1/6 × 1/5 = 1/30।
इसी तरह 1/12 × 1/18 के लिए वर्ग में 18 पंक्तियाँ और 12 स्तंभ होंगे। कुल 18 × 12 = 216 बराबर खानों में से एक खाना लेना है। अतः 1/12 × 1/18 = 1/216।
2. निम्नलिखित गुणनफलों को ज्ञात कीजिए। भिन्नों को प्रदर्शित करने के लिए एक इकाई वर्ग को एक पूर्ण के रूप में उपयोग कीजिए और संक्रियाओं को करके दिखाइए।
(a) 2/3 × 4/5
(b) 1/4 × 2/3
(c) 3/5 × 1/2
(d) 4/6 × 3/5
उत्तर:
पीली पंक्तियाँ दूसरी भिन्न का भाग दिखाती हैं। उन्हीं पंक्तियों में पहली भिन्न के अनुसार स्तंभ चुनने पर तिरछी रेखाओं वाले खाने मिलते हैं। इन खानों की संख्या की तुलना पूरे वर्ग के खानों से करेंगे।
(a) 5 पंक्तियों में से 4 पंक्तियाँ लीं। इन पंक्तियों में 3 में से 2 स्तंभ चुनने पर 4 × 2 = 8 खाने मिलते हैं। पूरे वर्ग में 5 × 3 = 15 खाने हैं। इसलिए 2/3 × 4/5 = 8/15।
(b) 3 में से 2 पंक्तियों और 4 में से 1 स्तंभ के साझे भाग में 2 खाने हैं। कुल 12 खाने हैं। इसलिए 1/4 × 2/3 = 2/12 = 1/6।
(c) 2 में से 1 पंक्ति और 5 में से 3 स्तंभों के साझे भाग में 3 खाने हैं। कुल 10 खाने हैं। इसलिए 3/5 × 1/2 = 3/10।
(d) 5 में से 3 पंक्तियों और 6 में से 4 स्तंभों के साझे भाग में 3 × 4 = 12 खाने हैं। कुल 30 खाने हैं। इसलिए 4/6 × 3/5 = 12/30 = 2/5।
कक्षा 7 गणित प्रकाश के पेज 183 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:
पेज 183 – पता लगाइए
1. एक पानी की टंकी एक नल से भरी जाती है। यदि नल 1 घंटा खुला रहता है तो टंकी का 7/10 भाग भर जाता है। टंकी का कितना भाग भरेगा यदि नल को निम्नलिखित समय के लिए खुला छोड़ा जाए-
(a) 1/3 घंटा __________
(b) 2/3 घंटा __________
(c) 3/4 घंटा __________
(d) 7/10 घंटा __________
(e) टंकी को पूरा भरने के लिए नल को कितने समय तक चलते रहने देना चाहिए?
उत्तर:
एक घंटे में टंकी का 7/10 भाग भरता है। इसलिए दिए गए समय में भरा भाग जानने के लिए 7/10 को समय से गुणा करेंगे।
(a) 1/3 घंटे में भरा भाग = 7/10 × 1/3 = 7/30।
(b) 2/3 घंटे में भरा भाग = 7/10 × 2/3 = 14/30 = 7/15।
(c) 3/4 घंटे में भरा भाग = 7/10 × 3/4 = 21/40।
(d) 7/10 घंटे में भरा भाग = 7/10 × 7/10 = 49/100।
(e) टंकी के 7/10 भाग को भरने में 1 घंटा लगता है, इसलिए 1/10 भाग को भरने में 1/7 घंटा लगेगा। पूरी टंकी में ऐसे 10 भाग हैं। अतः पूरी टंकी भरने का समय = 10 × 1/7 = 10/7 घंटे, अर्थात् 1 3/7 घंटे।
2. सरकार ने एक सड़क बनाने के लिए सोमू की भूमि का 1/6 भाग ले लिया। अब सोमू के पास भूमि का कितना भाग शेष बचा है? वह शेष भाग की आधी भूमि अपनी पुत्री कृष्णा को और 1/3 भाग अपने पुत्र बोरा को दे देता है। उनके हिस्सों को देने के बाद वह शेष भूमि अपने पास रखता है।
(a) मूल भूमि का कितना भाग कृष्णा को प्राप्त हुआ?
(b) मूल भूमि का कितना भाग बोरा को प्राप्त हुआ?
(c) मूल भूमि का कितना भाग सोमू ने अपने लिए रखा?
उत्तर:
पूरी भूमि को 1 मानते हैं। सड़क के लिए 1/6 भाग देने पर सोमू के पास 1 − 1/6 = 5/6 भाग बचा।
(a) कृष्णा को बची हुई भूमि का आधा मिला। इसलिए मूल भूमि में उसका हिस्सा = 1/2 × 5/6 = 5/12।
(b) बोरा को बची हुई भूमि का 1/3 मिला। इसलिए मूल भूमि में उसका हिस्सा = 1/3 × 5/6 = 5/18।
(c) बची हुई भूमि में से दोनों बच्चों को 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6 हिस्सा मिला। उसी बची हुई भूमि का 1/6 हिस्सा सोमू ने रखा। इसलिए मूल भूमि में सोमू का हिस्सा = 1/6 × 5/6 = 5/36।
चित्र में हर छोटा खाना मूल भूमि का 1/36 भाग दिखाता है।
3. एक ऐसे आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ 3 3/4 फीट और 9 3/5 फीट हैं।
उत्तर:
आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई।
गुणा के लिए मिश्रित संख्याओं को भिन्नों में बदलते हैं। 3 3/4 = 15/4 और 9 3/5 = 48/5।
क्षेत्रफल = (15 × 48)/(4 × 5) = (15 ÷ 5) × (48 ÷ 4) = 3 × 12 = 36 वर्ग फीट।
4. त्सेवांग ने अपने उद्यान में एक पंक्ति में चार पौध लगाईं। दो पौध के बीच की दूरी 3/4 मीटर है। पहले और अंतिम पौध के बीच की दूरी को ज्ञात कीजिए।
(संकेत— चार पौध का एक कच्चा चित्र बनाइए जिसमें दो पौध के बीच की दूरी 3/4 मीटर हो।)
उत्तर:
चार पौधों के बीच तीन अंतर हैं—पहले से दूसरे, दूसरे से तीसरे और तीसरे से चौथे पौधे तक।
हर अंतर 3/4 मीटर का है। इसलिए पहले और अंतिम पौधे के बीच की दूरी = 3 × 3/4 = 9/4 मीटर = 2 1/4 मीटर।
5. कौन अधिक भारी है- 500 ग्राम का 12/15 अथवा 4 किलोग्राम का 3/20?
उत्तर:
तुलना करने के लिए दोनों भार ग्राम में निकालते हैं।
500 ग्राम का 12/15 = 500 × 4/5 = 400 ग्राम।
4 किलोग्राम = 4000 ग्राम। इसका 3/20 भाग = 4000 × 3/20 = 600 ग्राम।
600 ग्राम, 400 ग्राम से अधिक है। इसलिए 4 किलोग्राम का 3/20 भाग अधिक भारी है।
कक्षा 7 गणित प्रकाश के पेज 195 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:
पेज 195 – पता लगाइए
1. निम्नलिखित का मूल्यांकन कीजिए।
उत्तर:
किसी भिन्न से भाग देने के लिए उसके व्युत्क्रम से गुणा करते हैं। व्युत्क्रम में अंश और हर की जगह आपस में बदल जाती है।
पहली पंक्ति
3 ÷ (7/9) = 3 × (9/7) = 27/7
(14/4) ÷ 2 = (14/4) × (1/2) = 7/4
(2/3) ÷ (2/3) = (2/3) × (3/2) = 1
(14/6) ÷ (7/3) = (14/6) × (3/7) = 1
दूसरी पंक्ति
(4/3) ÷ (3/4) = (4/3) × (4/3) = 16/9
(7/4) ÷ (1/7) = (7/4) × 7 = 49/4
(8/2) ÷ (4/15) = 4 × (15/4) = 15
तीसरी पंक्ति
(1/5) ÷ (1/9) = (1/5) × 9 = 9/5
(1/6) ÷ (11/12) = (1/6) × (12/11) = 2/11
अंतिम व्यंजक में मिश्रित भिन्नों को पहले एक-एक भिन्न के रूप में लिखते हैं।
3 2/3 ÷ 1 3/8 = (11/3) ÷ (11/8) = (11/3) × (8/11) = 8/3।
2. नीचे दिए गए प्रत्येक प्रश्न के लिए उस व्यंजक को चुनिए जो हल का वर्णन करता हो। फिर उसे सरल कीजिए।
(a) मारिया ने विद्यालय के लिए बनाए गए थैलों को सजाने के लिए 8 मीटर फीता (रिबन) खरीदा। उसने प्रत्येक थैले के लिए 1/4 मीटर फीते का उपयोग किया और सारा फीता खत्म कर दिया। उसने कितने थैलों को सजाया?
(i) 8 × (1/4) (ii) (1/8) × (1/4)
(iii) 8 ÷ (1/4) (iv) (1/4) ÷ 8
(b) 8 बिल्ले (Badges) बनाने के लिए 1/2 मीटर फीते (रिबन) उपयोग किया जाता है। प्रत्येक बिल्ला बनाने के लिए उपयोग किए गए फीते की लंबाई क्या है?
(i) 8 × (1/2) (ii) (1/2) ÷ (1/8)
(iii) 8 ÷ (1/2) (iv) (1/2) ÷ 8
(c) एक रोटी बनाने वाले (Baker) को बड़ी रोटी बनाने के लिए 1/6 किलोग्राम आटे की आवश्यकता है। उसके पास 5 कि.ग्रा. आटा है। उससे वह कितनी रोटियाँ बना सकता है?
(i) 5 × (1/6) (ii) (1/6) ÷ 5
(iii) 5 ÷ (1/6) (iv) 5 × 6
उत्तर:
(a) विकल्प (iii)। हर थैले के लिए 1/4 मीटर फीता लगता है। थैलों की संख्या जानने के लिए देखेंगे कि 8 मीटर में 1/4 मीटर के कितने टुकड़े बनेंगे।
8 ÷ (1/4) = 8 × 4 = 32।
इसलिए मारिया ने 32 थैले सजाए।
(b) विकल्प (iv)। आधा मीटर फीता 8 बिल्लों के लिए बराबर बाँटा गया है।
एक बिल्ले के लिए फीता = (1/2) ÷ 8 = (1/2) × (1/8) = 1/16 मीटर।
(c) विकल्प (iii)। 5 कि.ग्रा. आटे को 1/6 कि.ग्रा. के हिस्सों में बाँटेंगे।
रोटियों की संख्या = 5 ÷ (1/6) = 5 × 6 = 30।
इसलिए 30 रोटियाँ बनेंगी। विकल्प (iv) भी सही है, क्योंकि 1 कि.ग्रा. आटे से 6 रोटियाँ बनती हैं और 5 कि.ग्रा. से 5 × 6 रोटियाँ बनेंगी।
3. यदि 12 रोटियाँ बनाने के लिए 1/4 कि.ग्रा. आटे का उपयोग किया जाता है तो 6 रोटियाँ बनाने के लिए कितना आटा उपयोग होता है?
उत्तर:
6 रोटियाँ, 12 रोटियों की आधी हैं। एक ही आकार की रोटियाँ बनाने पर आटा भी आधा लगेगा।
आवश्यक आटा = (1/4) ÷ 2 = (1/4) × (1/2) = 1/8 कि.ग्रा.।
4. नौवीं शताब्दी ई. में श्रीधराचार्य द्वारा लिखित पुस्तक पाटीगणित में इस समस्या का उल्लेख है, “मित्र! सोचकर बताइए कि 1 ÷ (1/6), 1 ÷ (1/10), 1 ÷ (1/13), 1 ÷ (1/9) और 1 ÷ (1/2) को एक साथ जोड़ने पर क्या प्राप्त होगा?” मित्र का क्या उत्तर होगा?
उत्तर:
1 में 1/6 के 6 हिस्से होते हैं, इसलिए 1 ÷ (1/6) = 6। इसी तरह बाकी चार भागफल 10, 13, 9 और 2 हैं।
सभी भागफलों का योग = 6 + 10 + 13 + 9 + 2 = 40।
मित्र का उत्तर 40 होगा।
5. मीरा एक उपन्यास पढ़ रही है, जिसमें 400 पृष्ठ हैं। उसने कुल पृष्ठों का 1/5 भाग कल पढ़ा और आज कुल पृष्ठों का 3/10 भाग पढ़ा। उपन्यास को पूरा पढ़ने के लिए उसे अभी और कितने पृष्ठों को पढ़ने की आवश्यकता है?
उत्तर:
कल और आज मिलाकर पढ़ा हुआ भाग = 1/5 + 3/10 = 2/10 + 3/10 = 5/10 = 1/2।
इसलिए उपन्यास का 1 − 1/2 = 1/2 भाग पढ़ना बाकी है।
बाकी पृष्ठ = 400 × (1/2) = 200। मीरा को अभी 200 पृष्ठ और पढ़ने हैं।
6. एक कार 1 लीटर पेट्रोल का उपयोग करके 16 कि.मी. चलती है। 2 3/4 लीटर पेट्रोल का उपयोग करके यह कितनी दूर तक जाएगी?
उत्तर:
1 लीटर में कार 16 कि.मी. चलती है। इसलिए 2 3/4 लीटर की दूरी निकालने के लिए 16 को 2 3/4 से गुणा करेंगे।
दूरी = 16 × 2 3/4 = 16 × (11/4) = 4 × 11 = 44 कि.मी.।
7. अमृतपाल अपनी छुट्टियों के लिए एक गंतव्य का चयन करता है। यदि वह एक रेलगाड़ी से जाता है तो वहाँ पहुँचने में उसे 5 1/6 घंटे लगेंगे। यदि वह हवाई जहाज से जाता है तो वहाँ पहुँचने में उसे 1/2 घंटा लगेगा? हवाई जहाज द्वारा जाने से कितना समय बचेगा?
उत्तर:
बचा समय जानने के लिए रेलगाड़ी के समय में से हवाई जहाज का समय घटाएँगे।
बचा समय = 5 1/6 − 1/2 = 31/6 − 3/6 = 28/6 = 4 2/3 घंटे।
एक घंटे का 2/3 भाग = 60 × (2/3) = 40 मिनट।
इसलिए हवाई जहाज से जाने पर 4 घंटे 40 मिनट बचेंगे।
8. मरियम की दादी माँ एक केक बनाती हैं। मरियम और उसके चचेरे भाई केक का 4/5 भाग खा लेते हैं। शेष केक को मरियम की तीन सहेलियों द्वारा बराबर-बराबर बाँट लिया जाता है। प्रत्येक सहेली को केक का कितना भाग मिला?
उत्तर:
बचा हुआ केक = 1 − 4/5 = 1/5।
केक का यह 1/5 भाग तीन सहेलियों में बराबर बाँटा गया।
प्रत्येक सहेली का हिस्सा = (1/5) ÷ 3 = (1/5) × (1/3) = 1/15।
इसलिए हर सहेली को पूरे केक का 1/15 भाग मिला।
9. (565/465 × 707/676) के गुणनफल का वर्णन करने के लिए एक अथवा अधिक विकल्पों को चुनिए— (a) > 565/465 (b) < 565/465 (c) > 707/676 (d) < 707/676 (e) > 1 (f) < 1
उत्तर:
565 > 465 और 707 > 676 हैं, इसलिए दोनों भिन्न 1 से बड़ी हैं।
565/465 को 1 से बड़ी संख्या 707/676 से गुणा करने पर गुणनफल 565/465 से बड़ा होगा। इसी तरह वह 707/676 से भी बड़ा है। इसलिए गुणनफल 1 से भी बड़ा है।
सही विकल्प (a), (c) और (e) हैं।
10. पूरे वर्ग का कितना भाग छायांकित है?
उत्तर:
हम पूरे वर्ग को 4 पंक्तियों और 4 स्तंभों में बाँटते हैं। इससे 16 बराबर छोटे वर्ग बनते हैं।
छायांकित हिस्से में एक पूरा छोटा वर्ग और उसके ऊपर एक छोटे वर्ग का आधा भाग है। पूरा छोटा वर्ग कुल वर्ग का 1/16 है और उसका आधा 1/32 है।
कुल छायांकित भाग = 1/16 + 1/32 = 2/32 + 1/32 = 3/32।
11. चींटियों का एक समूह भोजन की खोज में निकला। जैसे-जैसे वे खोजते हैं, वे प्रत्येक बिंदु पर समान रूप से विभाजित होते रहते हैं (जैसा कि चित्र 8.7 में दिखाया गया है) और दो भोजन के स्रोतों पर पहुँचते हैं— एक समूह आम के पेड़ के पास और दूसरा समूह गन्ने के खेत के पास। मूल समूह का कितना भाग प्रत्येक खाद्य स्रोत तक पहुँचा?
उत्तर:
हम चित्र में नीचे से ऊपर चलते हैं। पहले बिंदु पर आधी चींटियाँ आम के पेड़ पर जाती हैं और आधी आगे बढ़ती हैं।
दूसरे बिंदु पर पहुँचा 1/2 भाग फिर दो बराबर हिस्सों में बँटता है। मूल समूह का 1/4 भाग आम की ओर और 1/4 भाग तीसरे बिंदु की ओर जाता है।
तीसरे बिंदु से चार रास्ते निकलते हैं। हर रास्ते पर (1/4) ÷ 4 = 1/16 भाग जाता है। दो रास्ते आम की ओर, एक गन्ने की ओर और एक चौथे बिंदु की ओर जाता है।
चौथे बिंदु पर 1/16 भाग के दो बराबर हिस्से होते हैं। इसलिए 1/32 भाग आम और 1/32 भाग गन्ने तक पहुँचता है।
आम के पेड़ तक पहुँचा भाग = 1/2 + 1/4 + 1/16 + 1/16 + 1/32 = (16 + 8 + 2 + 2 + 1)/32 = 29/32।
गन्ने के खेत तक पहुँचा भाग = 1/16 + 1/32 = 3/32।
जाँचने पर 29/32 + 3/32 = 1 मिलता है, यानी पूरे समूह का हिसाब हो गया।
12. 1 − 1/2 क्या है?
(1 − 1/2) × (1 − 1/3)?
(1 − 1/2) × (1 − 1/3) × (1 − 1/4) × (1 − 1/5)?
(1 − 1/2) × (1 − 1/3) × (1 − 1/4) × (1 − 1/5) × (1 − 1/6) × (1 − 1/7) × (1 − 1/8) × (1 − 1/9) × (1 − 1/10)?
एक सामान्य कथन बनाइए और व्याख्या कीजिए।
उत्तर:
पहले हर कोष्ठक को सरल करते हैं। जैसे 1 − 1/2 = 1/2, 1 − 1/3 = 2/3 और 1 − 1/4 = 3/4।
पहला मान = 1/2।
दूसरा मान = (1/2) × (2/3) = 1/3।
तीसरा मान = (1/2) × (2/3) × (3/4) × (4/5) = 1/5।
चौथा मान = (1/2) × (2/3) × (3/4) × (4/5) × (5/6) × (6/7) × (7/8) × (8/9) × (9/10) = 1/10।
हर भिन्न का हर अगली भिन्न के अंश के बराबर है। गुणा करते समय ये कट जाते हैं। पहले अंश का 1 और आखिरी हर बचते हैं।
इसलिए किसी भी पूर्ण संख्या n ≥ 2 के लिए (1 − 1/2) से (1 − 1/n) तक इन सभी पदों का गुणनफल 1/n होता है।
भिन्नों के गुणा और भाग का अभ्यास
भिन्नों का गुणा करते समय अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करें, फिर उत्तर को सरलतम रूप में लिखें। भाग वाले प्रश्नों में पहला चरण भाजक का व्युत्क्रम ज्ञात करना है; इसके बाद भाज्य को उस व्युत्क्रम से गुणा करें। उत्तर जाँचने के लिए सोचें कि किसी संख्या को एक से छोटी भिन्न से गुणा करने पर परिणाम छोटा और उसी भिन्न से भाग देने पर बड़ा क्यों हो जाता है।
भिन्नों की यह समझ भाग 2 के अध्याय 4 ‘दशमलव से परे एक और दृष्टि’ में दशमलवों के गुणा-भाग में भी काम आती है। भाग 2 के अध्यायों सहित पूरी पुस्तक के समाधान कक्षा 7 गणित एनसीईआरटी समाधान पृष्ठ पर एक साथ दिए गए हैं।
