एनसीईआरटी समाधान कक्षा 7 गणित प्रकाश भाग 1 अध्याय 4 अक्षर-संख्याओं के उपयोगी व्यंजक

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कक्षा 7 गणित भाग 1 अध्याय 4 के एनसीईआरटी समाधान हिंदी माध्यम में दिए गए हैं। यह अध्याय बीजगणित की पहली सीढ़ी है, जिसमें संख्याओं के स्थान पर अक्षरों का प्रयोग करके संबंधों और प्रतिरूपों को छोटे रूप में लिखना सिखाया गया है। प्रश्नों के हल सत्र 2026-27 की पुस्तक के अनुसार हैं।
कक्षा 7 गणित प्रकाश के पेज 84 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

(a) समान भुजाओं वाला त्रिभुज
(b) एक सम पंचभुज (जैसा कि हम गत वर्ष सीख चुके हैं कि हम ‘सम’ शब्द का उपयोग यह बताने के लिए करते हैं कि सभी भुजाओं की लम्बाई और कोणों के माप समान हैं)।
(c) एक सम षट्भुज
उत्तर:
परिमाप किसी आकृति की सभी भुजाओं की लंबाइयों का योग होता है। प्रत्येक आकृति की एक भुजा की लंबाई a और परिमाप P मानते हैं।
(a) त्रिभुज की तीनों भुजाएँ बराबर हैं। इसलिए P = a + a + a = 3a।
(b) सम पंचभुज की पाँचों भुजाएँ बराबर हैं। इसलिए P = 5 × a = 5a।
(c) सम षट्भुज की छहों भुजाएँ बराबर हैं। इसलिए P = 6 × a = 6a।

उत्तर:
पहले पाइप की लंबाई 20 मीटर और जोड़े गए पाइप की लंबाई k मीटर है। दोनों को जोड़ने पर कुल लंबाई मिलेगी।
कुल लंबाई = 20 + k मीटर।
अतः आवश्यक व्यंजक 20 + k है।

उत्तर:
प्रत्येक प्रकार की राशि निकालने के लिए उसकी संख्या को उसके मूल्य से गुणा करते हैं। फिर तीनों राशियों को जोड़ते हैं।
पहली पंक्ति में कुल राशि = 3 × 100 + 5 × 20 + 6 × 5 = 300 + 100 + 30 = 430 रुपये।
दूसरी पंक्ति के व्यंजक 6 × 100 + 4 × 20 + 3 × 5 से संख्याएँ क्रमशः 6, 4 और 3 मिलती हैं।
तीसरी पंक्ति में ₹5 के z सिक्कों का मूल्य 5z रुपये है। इसलिए कुल राशि 800 + 80 + 5z = 880 + 5z रुपये है।
अंतिम पंक्ति में तीनों संख्याएँ अक्षरों से दी हैं। इसलिए ₹100 के x नोट, ₹20 के y नोट और ₹5 के z सिक्कों की कुल राशि 100x + 20y + 5z रुपये होगी।
पूरी सारणी इस प्रकार है-

(a) 10 + 8 + y
(b) (10 + 8) × y
(c) 10 × 8 × y
(d) 10 + 8 × y
(e) 10 × y + 8
उत्तर:
मशीन शुरू होने में 10 सेकंड केवल एक बार लगेंगे।
1 किलोग्राम अनाज पीसने में 8 सेकंड लगते हैं, इसलिए y किलोग्राम पीसने में 8 × y सेकंड लगेंगे।
कुल समय = शुरू होने का समय + पीसने का समय
= 10 + 8 × y सेकंड।
अतः सही विकल्प (d) है।

(a) एक संख्या से 5 अधिक
(b) एक संख्या से 4 कम
(c) एक संख्या के 13 गुना से 2 कम
(d) एक संख्या के 2 गुना से 13 कम
उत्तर:
संख्या को x मानते हैं। ‘अधिक’ होने पर जोड़ते हैं और ‘कम’ होने पर घटाते हैं।
(a) संख्या में 5 जोड़ने पर व्यंजक x + 5 है।
(b) संख्या में से 4 घटाने पर व्यंजक x − 4 है।
(c) संख्या का 13 गुना 13x है। इसमें से 2 घटाने पर व्यंजक 13x − 2 है।
(d) संख्या का 2 गुना 2x है। इसमें से 13 घटाने पर व्यंजक 2x − 13 है।

(a) 8 × x + 3 × y
(b) 15 × j − 2 × k
उत्तर:
(a) एक कॉपी की कीमत 8 रुपये और एक पेंसिल की कीमत 3 रुपये है। मैं x कॉपियाँ और y पेंसिलें खरीदता हूँ।
कॉपियों की कीमत 8 × x रुपये और पेंसिलों की कीमत 3 × y रुपये होगी।
इसलिए कुल कीमत = 8 × x + 3 × y रुपये।

(b) मैं 15 रुपये प्रति कॉपी के हिसाब से j कॉपियाँ बेचता हूँ और 2 रुपये प्रति पेंसिल के हिसाब से k पेंसिलें खरीदता हूँ।
कॉपियाँ बेचकर 15 × j रुपये मिलते हैं और पेंसिलों पर 2 × k रुपये खर्च होते हैं।
इसलिए बची हुई राशि = 15 × j − 2 × k रुपये, जब खर्च मिली हुई राशि से अधिक न हो।

उत्तर:
कैलेंडर में दाईं ओर जाने पर दिनांक 1 बढ़ता है और बाईं ओर जाने पर 1 घटता है। ठीक ऊपर की पंक्ति में उसी वार का दिनांक 7 कम होता है।
इसलिए w के बाईं ओर w − 1 और दाईं ओर w + 1 होगा।
w के ठीक ऊपर w − 7 होगा। उसके बाईं ओर w − 8 और दाईं ओर w − 6 होगा।

कक्षा 7 गणित प्रकाश के पेज 93 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

उत्तर:
जोड़ने का क्रम या समूह बदलने पर योग नहीं बदलता। इसलिए हम पंक्तियों, स्तंभों या सजातीय पदों के समूह बनाकर जोड़ सकते हैं।

पहला चित्र
पहली विधि: दोनों पंक्तियों का योग जोड़ते हैं।
(5y − 6 + x) + (x + 2 + 5y)
= (5y + 5y) + (x + x) − 6 + 2
= 10y + 2x − 4

दूसरी विधि: एक जैसे पदों को पहले एक साथ गिनते हैं।
चित्र में 5y दो बार, x दो बार तथा −6 और 2 एक-एक बार हैं।
योग = 2 × 5y + 2 × x + (−6 + 2)
= 10y + 2x − 4

तीसरी विधि: पहले और तीसरे स्तंभों में से प्रत्येक का योग 5y + x है। बीच के स्तंभ का योग −6 + 2 = −4 है।
योग = 2(5y + x) − 4
= 10y + 2x − 4

दूसरा चित्र
पहली विधि: चारों पंक्तियों के योग जोड़ते हैं।
(2p + 3q − 2 + 3) + (3q + 2p + 3 − 2) + (2p + 3q) + (3q + 2p)
= (2p + 3q + 1) + (2p + 3q + 1) + (2p + 3q) + (2p + 3q)
= 8p + 12q + 2

दूसरी विधि: सजातीय पदों को साथ लेते हैं।
चित्र में 2p चार बार, 3q चार बार, −2 दो बार और 3 दो बार हैं।
योग = 4 × 2p + 4 × 3q + 2 × (−2) + 2 × 3
= 8p + 12q − 4 + 6
= 8p + 12q + 2

तीसरी विधि: चित्र को ऊपर की दो पंक्तियों वाले भाग और नीचे की दो पंक्तियों वाले भाग में बाँटते हैं।
ऊपर का योग = 2(2p + 3q) + 2(−2 + 3) = 4p + 6q + 2
नीचे का योग = 2(2p + 3q) = 4p + 6q
कुल योग = (4p + 6q + 2) + (4p + 6q)
= 8p + 12q + 2

तीसरा चित्र
पहली विधि: पंक्तियों के योग जोड़ते हैं। पहली और अंतिम पंक्तियों में से प्रत्येक का योग 10k − 10g है। बीच की प्रत्येक पंक्ति का योग 20k है।
कुल योग = (10k − 10g) + 20k + 20k + (10k − 10g)
= 60k − 20g

दूसरी विधि: सजातीय पदों को साथ लेते हैं।
चित्र में 5k बारह बार और −5g चार बार हैं।
योग = 12 × 5k + 4 × (−5g)
= 60k − 20g

तीसरी विधि: चित्र को 2 × 2 गोलों के चार बराबर भागों में बाँटते हैं। प्रत्येक भाग में 5k तीन बार और −5g एक बार है।
एक भाग का योग = 3 × 5k − 5g = 15k − 5g
पूरे चित्र का योग = 4(15k − 5g)
= 60k − 20g

इस प्रकार प्रत्येक चित्र के लिए तीनों विधियों से समान व्यंजक प्राप्त होता है।

(a) p + p + p + p, p + p + p + q,
(b) p + q + p − q,
(c) p − q + p − q,
(d) p + q − p + q,
(e) p + q − (p + q),
(f) p − q − p − q,
(g) 2d − d − d − d,
(h) 2d − d − d − c,
(i) 2d − d − (d − c),
(j) 2d − (d − d) − c,
(k) 2d − d − c − c
उत्तर:
समान अक्षर वाले पद सजातीय पद हैं। इन्हें जोड़ते या घटाते समय उनके गुणांकों को जोड़ते या घटाते हैं और अक्षर वही रखते हैं।
(a) p + p + p + p = (1 + 1 + 1 + 1)p = 4p
p + p + p + q = 3p + q
यहाँ p और q अलग अक्षर हैं, इसलिए 3p और q को आगे नहीं जोड़ सकते।

(b) p + q + p − q
= (p + p) + (q − q)
= 2p

(c) p − q + p − q
= (p + p) − (q + q)
= 2p − 2q

(d) p + q − p + q
= (p − p) + (q + q)
= 2q

(e) कोष्ठक के बाहर घटाव का चिह्न है, इसलिए कोष्ठक खोलने पर दोनों पदों के चिह्न बदलेंगे।
p + q − (p + q)
= p + q − p − q
= 0

(f) p − q − p − q
= (p − p) − (q + q)
= −2q

(g) 2d − d − d − d
= (2 − 1 − 1 − 1)d
= −d

(h) 2d − d − d − c
= (2 − 1 − 1)d − c
= −c

(i) यहाँ −(d − c) = −d + c होगा, क्योंकि कोष्ठक के दोनों पदों के चिह्न बदलते हैं।
2d − d − (d − c)
= 2d − d − d + c
= c

(j) पहले कोष्ठक में d − d = 0 करते हैं।
2d − (d − d) − c
= 2d − 0 − c
= 2d − c

(k) 2d − d − c − c
= (2 − 1)d − (c + c)
= d − 2c

कक्षा 7 गणित प्रकाश के पेज 102 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:

आपसे पूछे गए प्रश्नों तथा उचित व्यंजकों को ज्ञात करने के लिए सबसे पहले वर्णित स्थिति में विभिन्न मात्राओं के बीच संबंध समझने का प्रयत्न कीजिए। यदि आवश्यक हो तो अज्ञात के लिए कुछ मानों की कल्पना कीजिए एवं संबंध ज्ञात करने का प्रयत्न कीजिए।

(a) 30x + 20y
(b) (30 + 20) × (x + y)
(c) 20x + 30y
(d) (30 + 20) × x + y
(e) 30x − 20y
उत्तर:
किसी वस्तु का कुल मूल्य = एक वस्तु का मूल्य × वस्तुओं की संख्या।
इसलिए x प्लेट ज्वार की रोटी का मूल्य = 30 × x = 30x रुपये।
y प्लेट पुलाव का मूल्य = 20 × y = 20y रुपये।
दोनों से अर्जित कुल राशि = 30x + 20y रुपये।
अतः सही विकल्प (a) है।

(a) p + q + r
(b) p + q + 2r
(c) 2 × (p + q + r)
(d) p + q + r + 2
(e) p + q + r + 1
(f) 2 × (p + q)
उत्तर:
ग्राहकों के तीन अलग समूह हैं: केवल चंपा खरीदने वाले p, केवल गेंदा खरीदने वाले q और दोनों खरीदने वाले r।
कुल ग्राहक = p + q + r।
दोनों तरह के फूल खरीदने वाले ग्राहक को भी केवल एक झंडा मिलता है, इसलिए r को दो बार नहीं जोड़ेंगे।
अतः झंडों की संख्या p + q + r है। सही विकल्प (a) है।

(a) घोंघा अपनी प्रारंभिक स्थिति से कितना दूर है, यह बताने के लिए एक व्यंजक लिखिए।
(b) यदि d > u तो हम घोंघे की गति के बारे में क्या कह सकते हैं?
उत्तर:
(a) एक दिन और एक रात में ऊँचाई का कुल परिवर्तन = u − d से.मी.।
10 दिनों में वह 10u से.मी. चढ़ेगा और 10 रातों में 10d से.मी. नीचे फिसलेगा।
इसलिए प्रारंभिक स्थिति से ऊँचाई में परिवर्तन = 10u − 10d = 10(u − d) से.मी.।
यह मान धनात्मक हो तो वह प्रारंभिक स्थिति से ऊपर और ऋणात्मक हो तो नीचे होगा।
(b) यदि d > u है, तो रात में फिसलने की दूरी दिन में चढ़ने की दूरी से अधिक है। इसलिए हर दिन-रात के बाद घोंघा और नीचे पहुँचता है। 10 दिन और 10 रात के बाद वह प्रारंभिक स्थिति से 10(d − u) से.मी. नीचे होगा।

उत्तर:
एक सप्ताह में 7 दिन होते हैं। प्रतिदिन की दूरी हर नए सप्ताह में z कि.मी. बढ़ती है।
पहले सप्ताह की कुल दूरी = 7 × 5 = 35 कि.मी.।
दूसरे सप्ताह की कुल दूरी = 7(5 + z) कि.मी.।
तीसरे सप्ताह की कुल दूरी = 7(5 + 2z) कि.मी.।
तीनों सप्ताह की कुल दूरी
= 35 + 7(5 + z) + 7(5 + 2z)
= 35 + 35 + 7z + 35 + 14z
= 105 + 21z कि.मी.।

उत्तर:
हर रास्ते पर तीर की दिशा में चलते हुए बक्से की संक्रिया पूरे व्यंजक पर करते हैं।
ऊपर बाईं ओर: (w + 2) − 5 = w − 3, फिर 3(w − 3) = 3w − 9।
नीचे बाईं ओर: (w + 2) − 8 = w − 6, फिर (w − 6) − 4 = w − 10।
नीचे दाईं ओर: (w + 2) − 4 = w − 2, फिर 3(w − 2) = 3w − 6।
अतः चार खाली अंडाकारों में 3w − 9, w − 6, w − 10 और w − 2 आएँगे।

(a) यदि t = 4 हो तो यहाँपुर से वहाँपुर की यात्रा में लगने वाला समय क्या होगा?
(b) यहाँपुर से वहाँपुर की यात्रा में लगने वाले समय के लिए बीजगणितीय व्यंजक क्या होगा? (संकेत — स्थिति के दृश्यीकरण के लिए एक रफ आरेख खींचिए।)

उत्तर:
यहाँपुर और वहाँपुर के बीच तीन स्टेशन हैं। इसलिए चलने के लिए चार भाग हैं।

तीनों स्टेशनों पर रुकने का कुल समय = 3 × 2 = 6 मिनट।
(a) t = 4 रखने पर चलने का समय = 4 × 4 = 16 मिनट।
कुल यात्रा-समय = 16 + 6 = 22 मिनट।
(b) प्रत्येक भाग में t मिनट लगते हैं, इसलिए चार भागों में 4t मिनट लगेंगे।
कुल यात्रा-समय = चलने का समय + रुकने का समय = 4t + 6 मिनट।

(a) 3a + 9b − 6 + 8a − 4b − 7a + 16
(b) 3(3a − 3b) − 8a − 4b − 16
(c) 2(2x − 3) + 8x + 12
(d) 8x − (2x − 3) + 12
(e) 8h − (5 + 7h) + 9
(f) 23 + 4(6m − 3n) − 8n − 3m − 18
उत्तर:
समान अक्षर वाले पदों को साथ जोड़ते या घटाते हैं। कोष्ठक के बाहर का गुणक अंदर के प्रत्येक पद से गुणा होता है। कोष्ठक के आगे ऋण चिह्न हो, तो उसे हटाते समय अंदर के सभी पदों के चिह्न बदलते हैं।
(a) 3a + 9b − 6 + 8a − 4b − 7a + 16
= (3 + 8 − 7)a + (9 − 4)b + (−6 + 16)
= 4a + 5b + 10

(b) 3(3a − 3b) − 8a − 4b − 16
= 9a − 9b − 8a − 4b − 16
= a − 13b − 16

(c) 2(2x − 3) + 8x + 12
= 4x − 6 + 8x + 12
= 12x + 6

(d) 8x − (2x − 3) + 12
= 8x − 2x + 3 + 12
= 6x + 15

(e) 8h − (5 + 7h) + 9
= 8h − 5 − 7h + 9
= h + 4

(f) 23 + 4(6m − 3n) − 8n − 3m − 18
= 23 + 24m − 12n − 8n − 3m − 18
= 21m − 20n + 5

(a) 4d − 7c + 9 और 8c − 11 + 9d
(b) −6f + 19 − 8s और −23 + 13f + 12s
(c) 8d − 14c + 9 और 16c − (11 + 9d)
(d) 6f − 20 + 8s और 23 − 13f − 12s
(e) 13m − 12n और 12n − 13m
(f) −26m + 24n और 26m − 24n
उत्तर:
दोनों व्यंजकों के बीच जोड़ का चिह्न रखते हैं और समान पदों को मिलाते हैं।
(a) (4d − 7c + 9) + (8c − 11 + 9d)
= (4d + 9d) + (−7c + 8c) + (9 − 11)
= 13d + c − 2

(b) (−6f + 19 − 8s) + (−23 + 13f + 12s)
= (−6f + 13f) + (−8s + 12s) + (19 − 23)
= 7f + 4s − 4

(c) (8d − 14c + 9) + [16c − (11 + 9d)]
= 8d − 14c + 9 + 16c − 11 − 9d
= −d + 2c − 2

(d) (6f − 20 + 8s) + (23 − 13f − 12s)
= (6f − 13f) + (8s − 12s) + (−20 + 23)
= −7f − 4s + 3

(e) (13m − 12n) + (12n − 13m)
= (13m − 13m) + (−12n + 12n) = 0

(f) (−26m + 24n) + (26m − 24n)
= (−26m + 26m) + (24n − 24n) = 0

(a) 9a − 6b + 14 से 6a + 9b − 18
(b) −15x + 13 − 9y से 7y − 10 + 3x
(c) 17g + 9 − 7h से 11 − 10g + 3h
(d) 9a − 6b + 14 से 6a − (9b + 18)
(e) 10x + 2 + 10y से −3y + 8 − 3x
(f) 8g + 4h − 10 से 7h − 8g + 20
उत्तर:
‘पहले व्यंजक से दूसरे व्यंजक को घटाना’ का अर्थ है पहला व्यंजक − (दूसरा व्यंजक)। दूसरे व्यंजक का कोष्ठक हटाने पर उसके प्रत्येक पद का चिह्न बदलता है।
(a) (9a − 6b + 14) − (6a + 9b − 18)
= 9a − 6b + 14 − 6a − 9b + 18
= 3a − 15b + 32

(b) (−15x + 13 − 9y) − (7y − 10 + 3x)
= −15x + 13 − 9y − 7y + 10 − 3x
= −18x − 16y + 23

(c) (17g + 9 − 7h) − (11 − 10g + 3h)
= 17g + 9 − 7h − 11 + 10g − 3h
= 27g − 10h − 2

(d) (9a − 6b + 14) − [6a − (9b + 18)]
= 9a − 6b + 14 − (6a − 9b − 18)
= 9a − 6b + 14 − 6a + 9b + 18
= 3a + 3b + 32

(e) (10x + 2 + 10y) − (−3y + 8 − 3x)
= 10x + 2 + 10y + 3y − 8 + 3x
= 13x + 13y − 6

(f) (8g + 4h − 10) − (7h − 8g + 20)
= 8g + 4h − 10 − 7h + 8g − 20
= 16g − 3h − 30

(a) 8x + 3y
(b) 15x − 2x
उत्तर:
(a) मैंने 8 पेंसिलें और 3 कॉपियाँ खरीदीं। एक पेंसिल का मूल्य x रुपये और एक कॉपी का मूल्य y रुपये है। पेंसिलों का मूल्य 8x और कॉपियों का मूल्य 3y रुपये होगा। इसलिए कुल खर्च 8x + 3y रुपये है।
(b) मेरे पास 15 डिब्बे हैं और प्रत्येक में x कंचे हैं। मैंने 2 डिब्बों के सभी कंचे अपने मित्र को दे दिए। पहले 15x कंचे थे और मैंने 2x कंचे दिए। इसलिए बचे कंचों की संख्या 15x − 2x है।

उत्तर:
बिना मोड़े रस्सी एक जगह कटती है और 2 टुकड़े बनते हैं। चित्र के ढंग से एक मोड़ लगाने पर वह 2 जगह कटती है और 3 टुकड़े बनते हैं। दो मोड़ पर 3 जगह कटने से 4 टुकड़े बनते हैं।
इस पैटर्न में हर नया मोड़ कटने की एक जगह और एक टुकड़ा बढ़ाता है।
इसलिए 10 मोड़ों पर टुकड़े = 10 + 2 = 12।
r मोड़ों पर रस्सी r + 1 जगह कटेगी, इसलिए टुकड़ों की संख्या = (r + 1) + 1 = r + 2।

उत्तर:
पहले वर्ग के लिए 4 तीलियाँ चाहिए। हर नया वर्ग पिछले वर्ग की एक भुजा साझा करता है, इसलिए उसके लिए केवल 3 नई तीलियाँ चाहिए।
10 वर्गों के लिए तीलियाँ = 4 + 3 × 9 = 4 + 27 = 31।
w वर्गों में पहले के बाद w − 1 नए वर्ग होंगे।
इसलिए तीलियों की संख्या = 4 + 3(w − 1) = 4 + 3w − 3 = 3w + 1।

उत्तर:
रंगों का क्रम लाल, पीला, हरा, पीला है। यही चार रंग-स्थितियों का समूह बार-बार दोहराता है।
90 = 4 × 22 + 2, इसलिए स्थिति 90 पर समूह का दूसरा रंग पीला होगा।
190 = 4 × 47 + 2, इसलिए स्थिति 190 पर भी पीला रंग होगा।
343 = 4 × 85 + 3, इसलिए स्थिति 343 पर समूह का तीसरा रंग हरा होगा।
n = 1, 2, 3, … लेने पर,
लाल रंग की स्थितियाँ 1, 5, 9, … हैं; व्यंजक 4n − 3 है।
पीले रंग की स्थितियाँ 2, 4, 6, … हैं; व्यंजक 2n है।
हरे रंग की स्थितियाँ 3, 7, 11, … हैं; व्यंजक 4n − 1 है।

उत्तर:
हर आकृति में बीच का 1 वर्ग है और उससे चार तिरछी दिशाओं में बराबर संख्या में वर्ग लगे हैं। पहले चरण में हर दिशा में 1, दूसरे में 2 और तीसरे में 3 वर्ग हैं।
इसलिए चरण n में चारों दिशाओं के 4n वर्ग और बीच का 1 वर्ग होगा।
वर्गों की संख्या = 4n + 1।
चरण 4 में: 4 × 4 + 1 = 17 वर्ग।
चरण 10 में: 4 × 10 + 1 = 41 वर्ग।
चरण 50 में: 4 × 50 + 1 = 201 वर्ग।
प्रत्येक वर्ग के 4 कोने हैं। इसलिए सभी वर्गों के कोनों की कुल संख्या = 4(4n + 1) = 16n + 4।

(a) दिए गए एक स्तंभ (1, 2, 3, 4) में सभी संख्याएँ निर्मित करने के लिए व्यंजक दीजिए।
(b) बताइए कि नीचे दी गई संख्याएँ किस पंक्ति एवं किस स्तंभ में विद्यमान होंगी—
(i) 124
(ii) 147
(iii) 201
(c) कौन-सी संख्या पंक्ति ‘r’ एवं स्तंभ ‘c’ में विद्यमान होगी?
(d) 3 के गुणजों की स्थितियों को ध्यान से देखिए।
क्या आपको इसमें कोई पैटर्न दिख रहा है? आप जो अन्य पैटर्न देखते हैं, उनकी सूची बनाइए।
उत्तर:
(a) एक ही स्तंभ में नीचे जाने पर हर बार 4 जुड़ता है। पंक्ति संख्या r = 1, 2, 3, … मानते हैं।
पहले स्तंभ की संख्याएँ 1, 5, 9, … हैं; व्यंजक 4r − 3 है।
दूसरे स्तंभ की संख्याएँ 2, 6, 10, … हैं; व्यंजक 4r − 2 है।
तीसरे स्तंभ की संख्याएँ 3, 7, 11, … हैं; व्यंजक 4r − 1 है।
चौथे स्तंभ की संख्याएँ 4, 8, 12, … हैं; व्यंजक 4r है।

(b) प्रत्येक पूरी पंक्ति में 4 संख्याएँ हैं।
(i) 124 = 4 × 31, इसलिए 124 पंक्ति 31 की अंतिम संख्या है। यह पंक्ति 31, स्तंभ 4 में होगा।
(ii) 147 = 4 × 36 + 3। पहली 36 पंक्तियों में 144 संख्याएँ हैं और 147 अगली पंक्ति की तीसरी संख्या है। इसलिए यह पंक्ति 37, स्तंभ 3 में होगा।
(iii) 201 = 4 × 50 + 1। पहली 50 पंक्तियों में 200 संख्याएँ हैं। इसलिए 201 पंक्ति 51, स्तंभ 1 में होगा।

(c) पंक्ति r से पहले r − 1 पूरी पंक्तियों में 4(r − 1) संख्याएँ हैं। अगली पंक्ति के स्तंभ c तक पहुँचने के लिए c जोड़ते हैं।
अतः संख्या = 4(r − 1) + c = 4r + c − 4।

(d) 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, … के स्तंभ क्रमशः 3, 2, 1, 4, 3, 2, 1, 4, … हैं। इसलिए 3 के गुणजों के लिए स्तंभों का क्रम 3, 2, 1, 4 बार-बार दोहराता है।
अन्य पैटर्न:
• हर पंक्ति में दाईं ओर जाने पर 1 जुड़ता है।
• हर स्तंभ में नीचे जाने पर 4 जुड़ता है।
• स्तंभ 1 और 3 में विषम संख्याएँ हैं; स्तंभ 2 और 4 में सम संख्याएँ हैं।
• स्तंभ 4 की सभी संख्याएँ 4 के गुणज हैं।
• हर तीन पंक्तियों के बाद 3 के गुणज फिर उन्हीं स्तंभों में आते हैं, क्योंकि संख्या में 12 जुड़ता है और 12 भी 3 का गुणज है।

किसी प्रतिरूप के लिए व्यंजक बनाते समय पहले कुछ चरणों की संख्याएँ एक सारणी में लिखें, फिर देखें कि हर अगले चरण में कितनी वृद्धि होती है। व्यंजक बनाने के बाद उसमें किसी ज्ञात चरण की संख्या रखकर जाँच अवश्य करें। सरलीकरण करते समय केवल समान पदों को ही जोड़ें या घटाएँ और याद रखें कि अक्षर-संख्या के आगे लिखी संख्या उससे गुणा को दर्शाती है।

यहाँ सीखे गए व्यंजक भाग 2 के अध्याय 7 ‘अज्ञात की खोज’ में समीकरण बनाने और हल करने के काम आएँगे, इसलिए सूत्र और प्रतिरूप वाले प्रश्नों का अभ्यास अच्छी तरह कर लें। किसी अन्य अध्याय पर जाने के लिए कक्षा 7 गणित एनसीईआरटी समाधान पृष्ठ की अध्याय-सूची का उपयोग करें।