एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 6.2

प्रमेय:
n विभिन्न वस्तुओं में से एक समय में r वस्तुओं को लेकर बनाए गए क्रमचयों की संख्या को प्रतीक ⁿPᵣ से निरूपित करते हैं, जहाँ 0 < r ≤ n तथा किसी भी क्रमचय में वस्तुओं की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है, ⁿPᵣ = n (n – 1) (n – 2). . .(n – r + 1).
उपपत्ति
क्रमचयों की संख्या, r रिक्त स्थानों को ……… उत्तरोत्तर n वस्तुओं से भरने के तरीकों की संख्या के बराबर है। पहला स्थान n तरीकों से भरा जा सकता है। इसके बाद दूसरा स्थान (n – 1) तरीकों से भरा जा सकता है। इसके उपरांत तीसरा स्थान (n – 2)तरीकों से भरा जा सकता है ——— और r वाँ स्थान {n – (r – 1)}, तरीकों से भरा जा सकता है। अतः r रिक्त स्थानों को उत्तरोत्तर भरने के तरीकों की संख्या
= n(n – 1) (n – 2) . . . (n – (r – 1)) ;k n ( n – 1) (n – 2) … (n – r + 1)
ⁿPᵣ के लिए यह एक बोझिल व्यंजक है और हमें एक ऐसे संकेतन की आवश्यकता है, जिसकी सहायता से इस व्यंजक के विस्तार को घटाया जा सके। प्रतीक n! (जिसे n क्रमगुणित पढ़ते हैं) इसमें हमारी सहायता करता है।

संकेतन n! प्रथम n प्राकृत संख्याओं के गुणनफल को व्यक्त करता है अर्थात् 1 × 2 × 3 × …. × (n – 1) × n को n! द्वारा निरूपित किया जाता है। हम इस प्रतीक को “n क्रमगुणित पढ़ते हैं। इस प्रकार 1 × 2 × 3 × 4 …… × (n – 1) × n = n!

मान निकालिए
(i) 5!
(ii) 7!
(iii) 7! – 5!
हल:
(i) 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120
(ii) 7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 ×7 = 5040
(iii) 7! – 5! = 5040 – 120 = 4920

परिकलन कीजिए
(i) 7!/5!
(ii) 12!/(10!) (2!)
हल:
(i) 7!/5! = (7 × 6 × 5!)/5! = 7 × 6 = 42
(ii) 12!/(10!) (2!) = (12 × 11 × 10!)/(10!) (2)
= (12 × 11)/2 = 66

मान निकालिए n!/r!(n – r)!, जहाँ n = 5 तथा r = 2
हल:
हमें निम्नलिखित का मान निकालना है
n!/r!(n – r)! = 5!/2!(5 – 2)!
= 5!/2!3! = (5 × 4 × 3!)/2!3!
= (5 × 4)/2 = 10