एनसीईआरटी समाधान कक्षा 7 गणित प्रकाश भाग 2 अध्याय 7 अज्ञात की खोज
कक्षा 7 गणित प्रकाश भाग 2 अध्याय 7 ‘अज्ञात की खोज’ के एनसीईआरटी समाधान – अभ्यास के प्रश्नों के हल सत्र 2026-27 के लिए हिंदी मीडियम में यहाँ से प्राप्त करें। भाग 2 का यह अंतिम अध्याय तराजू पर रखे अज्ञात भार से बीजीय समीकरण की अवधारणा समझाता है।
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एनसीईआरटी कक्षा 7 गणित प्रकाश भाग 2 अध्याय 7 समाधान
कक्षा 7 गणित प्रकाश भाग 2 अध्याय 7 में समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही संक्रिया करके अज्ञात का मान ज्ञात करना, स्थितियों से समीकरण बनाना, त्रुटि ढूँढ़कर सुधारना और ‘जादुई चाल’ के पीछे का बीजगणित सम्मिलित है। ‘इतिहास की एक झलक’ सहित प्रश्नों के हल सत्र 2026-27 के अनुसार चरणबद्ध हैं।
कक्षा 7 गणित प्रकाश भाग 2 के पेज 172 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:
पेज 172 – पता लगाइए
1. इन समीकरणों को हल कीजिए और हल की जाँच कीजिए।
(a) 3x − 10 = 35
(b) 5s = 3s
(c) 3u − 7 = 2u + 3
(d) 4(m + 6) − 8 = 2m − 4
(e) u/15 = 6
उत्तर:
(a) दोनों पक्षों में 10 जोड़ने पर 3x = 35 + 10 = 45। अब 3 से भाग देने पर x = 15।
जाँच करने पर 3 × 15 − 10 = 45 − 10 = 35, जो दाएँ पक्ष के बराबर है।
(b) दोनों पक्षों से 3s घटाने पर 5s − 3s = 0, अर्थात 2s = 0। इसलिए s = 0।
जाँच करने पर बायाँ पक्ष 5 × 0 = 0 और दायाँ पक्ष 3 × 0 = 0 है।
(c) दोनों पक्षों से 2u घटाने पर u − 7 = 3। फिर दोनों पक्षों में 7 जोड़ने पर u = 10।
जाँच करने पर बायाँ पक्ष 3 × 10 − 7 = 23 और दायाँ पक्ष 2 × 10 + 3 = 23 है।
(d) पहले कोष्ठक खोलते हैं। 4(m + 6) = 4m + 24, इसलिए समीकरण 4m + 16 = 2m − 4 बनता है।
दोनों पक्षों से 2m घटाने पर 2m + 16 = −4। अब 16 घटाने पर 2m = −20, इसलिए m = −10।
जाँच करने पर बायाँ पक्ष 4 × (−10 + 6) − 8 = 4 × (−4) − 8 = −24 और दायाँ पक्ष 2 × (−10) − 4 = −24 है।
(e) दोनों पक्षों को 15 से गुणा करने पर u = 6 × 15 = 90।
जाँच करने पर 90/15 = 6, जो दाएँ पक्ष के बराबर है।
2. एक ऐसा समीकरण बनाइए जिसका कोई हल न हो।
[संकेत—एक संख्या से 4 अधिक और उसी संख्या से 5 अधिक कभी भी समान नहीं हो सकते।]
उत्तर:
मैंने समीकरण x + 4 = x + 5 बनाया। दोनों पक्षों से x घटाने पर 4 = 5 मिलता है, जो सही नहीं है। x का कोई भी मान लें, दायाँ पक्ष हमेशा बाएँ पक्ष से 1 अधिक रहेगा। इसलिए इस समीकरण का कोई हल नहीं है।
कक्षा 7 गणित प्रकाश भाग 2 के पेज 181 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:
पेज 181 – पता लगाइए
1. ऐसे पाँच समीकरण लिखिए जिनका हल x = −2 है।
उत्तर:
मैंने x = −2 से शुरू किया। दोनों पक्षों पर एक ही संख्या जोड़कर, घटाकर या किसी अशून्य संख्या से गुणा करके नए समीकरण बनाए। मेरे पाँच समीकरण हैं—
(i) x + 3 = 1
(ii) x − 4 = −6
(iii) 2x = −4
(iv) 3x + 1 = −5
(v) 5 − x = 7
जैसे, चौथे समीकरण में x की जगह −2 रखने पर 3 × (−2) + 1 = −5 मिलता है।
इसी तरह बाकी समीकरणों में भी दोनों पक्ष बराबर होते हैं।
2. प्रत्येक अज्ञात का मान ज्ञात कीजिए-
(a) 2y = 60
(b) −8 = 5x − 3
(c) −53w = −15
(d) 13 − z = 8
(e) k + 8 = 12 − k
(f) 7m = m − 3
(g) 3n = 10 + n
उत्तर:
(a) 2y = 60। दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर y = 60 ÷ 2 = 30।
(b) −8 = 5x − 3। दोनों पक्षों में 3 जोड़ने पर −5 = 5x। इसलिए x = −5 ÷ 5 = −1।
(c) −53w = −15। दोनों पक्षों को −53 से भाग देने पर w = (−15) ÷ (−53) = 15/53।
(d) 13 − z = 8। दोनों पक्षों में z जोड़ने पर 13 = 8 + z। अब 8 घटाने पर z = 13 − 8 = 5।
(e) k + 8 = 12 − k। दोनों पक्षों में k जोड़ने पर 2k + 8 = 12। फिर 8 घटाने पर 2k = 4। इसलिए k = 2।
(f) 7m = m − 3। दोनों पक्षों से m घटाने पर 6m = −3। इसलिए m = −3/6 = −1/2।
(g) 3n = 10 + n। दोनों पक्षों से n घटाने पर 2n = 10। इसलिए n = 5।
3. मैं एक 3 अंकीय संख्या हूँ। मेरे सैकड़े का अंक मेरे दहाई के अंक से 3 कम है। मेरे दहाई का अंक मेरे इकाई के अंक से 3 कम है। तीनों अंकों का योग 15 है। मैं कौन हूँ?
उत्तर:
मान लेते हैं कि दहाई का अंक x है। तब सैकड़े का अंक x − 3 और इकाई का अंक x + 3 होगा।
तीनों अंकों का योग 15 है, इसलिए (x − 3) + x + (x + 3) = 15।
यहाँ −3 और +3 मिलकर 0 हो जाते हैं।
इसलिए 3x = 15, अर्थात x = 5।
अब सैकड़े का अंक 5 − 3 = 2, दहाई का अंक 5 और इकाई का अंक 5 + 3 = 8 है।
अतः संख्या 258 है।
4. एक ईंट का भार उसके आधे से 1 कि.ग्रा. अधिक है। ईंट का भार कितना है?
उत्तर:
मान लेते हैं कि ईंट का भार x किलोग्राम है। उसका आधा भार x/2 किलोग्राम होगा। इसलिए x = x/2 + 1।
दोनों पक्षों से x/2 घटाने पर x/2 = 1 मिलता है। इसका अर्थ है कि आधी ईंट का भार 1 किलोग्राम है। अतः पूरी ईंट का भार 2 किलोग्राम है।
5. किसी संख्या के एक चौथाई भाग में 9 जोड़ने पर वही संख्या प्राप्त होती है। वह संख्या क्या है?
उत्तर:
मान लेते हैं कि संख्या x है। उसका एक चौथाई भाग x/4 है। अतः x/4 + 9 = x।
दोनों पक्षों को 4 से गुणा करने पर x + 36 = 4x। दोनों पक्षों से x घटाने पर 36 = 3x। इसलिए x = 12।
जाँच करने पर 12 का एक चौथाई 3 है और 3 + 9 = 12। अतः संख्या 12 है।
6. 4k + 1 = 13 दिया गया है, निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए-
(a) 8k + 2
(b) 4k
(c) k
(d) 4k − 1
(e) −k − 2
उत्तर:
4k + 1 = 13 में दोनों पक्षों से 1 घटाने पर 4k = 12। फिर 4 से भाग देने पर k = 3 मिलता है।
(a) 8k + 2 = 2 × (4k + 1) = 2 × 13 = 26।
(b) 4k = 12।
(c) k = 3।
(d) 4k − 1 = 12 − 1 = 11।
(e) −k − 2 = −3 − 2 = −5।
कक्षा 7 गणित प्रकाश भाग 2 के पेज 185 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:
पेज 185 – पता लगाइए
1. रिक्त स्थानों को पूर्णांकों से भरिए।
(a) 5 × ___ − 8 = 37
(b) 37 − (33 − ___) = 35
(c) −3 × (−11 + ___) = 45
उत्तर:
(a) 8 घटाने से पहले संख्या 37 + 8 = 45 थी। इसलिए रिक्त स्थान में 45 ÷ 5 = 9 आएगा। जाँच करने पर 5 × 9 − 8 = 37 मिलता है।
(b) 37 में से 2 घटाने पर 35 मिलता है। इसलिए कोष्ठक का मान 2 होना चाहिए। 33 − 31 = 2, अतः रिक्त स्थान में 31 आएगा।
(c) कोष्ठक का मान 45 ÷ (−3) = −15 है। चूँकि −11 + (−4) = −15 है, इसलिए रिक्त स्थान में −4 आएगा।
2. रंजू एक दिहाड़ी मज़दूर है। वह प्रतिदिन ₹750 कमाती है। उसका नियोक्ता उसे 50 और 100 रुपये के नोटों में वेतन देता है। यदि रंजू को 50 और 100 रुपये के नोट समान संख्या में मिलते हैं तो उसके पास प्रत्येक मुद्रा के कितने नोट हैं?
उत्तर:
मान लेते हैं कि ₹50 के x नोट और ₹100 के भी x नोट हैं।
कुल राशि = 50x + 100x = 150x रुपये।
150x = 750, इसलिए x = 750 ÷ 150 = 5।
अतः रंजू को ₹50 के 5 नोट और ₹100 के 5 नोट मिलते हैं।
इनका कुल मूल्य ₹250 + ₹500 = ₹750 है।
3. दिए गए चित्र में प्रत्येक काला धब्बा समान संख्या में नीले बिंदुओं को छिपाए हुए है। यदि कुल 25 बिंदु हैं तो एक धब्बा कितने बिंदुओं को ढकता है? इस समस्या का वर्णन करने के लिए एक समीकरण लिखिए।
उत्तर:
चित्र में 4 नीले बिंदु दिखाई दे रहे हैं और 3 काले धब्बे हैं।
मान लेते हैं कि हर धब्बा x बिंदु छिपाता है। तब समीकरण 3x + 4 = 25 होगा।
3x = 25 − 4 = 21, इसलिए x = 21 ÷ 3 = 7।
अतः एक धब्बा 7 नीले बिंदुओं को ढकता है।
4. नीचे दिए गए चित्र में ऐसी मशीनें दिखाई गई हैं जो आँकड़े लेती हैं, उस पर संक्रियाएँ करती हैं और परिणाम देती हैं।
(a)
निम्नलिखित के लिए प्रविष्ट आँकड़ों को ज्ञात कीजिए
(b)
निम्नलिखित के लिए प्रविष्ट आँकड़ों को ज्ञात कीजिए-
उत्तर:
(a) मशीन पहले 3 जोड़ती है, फिर 4 से गुणा करती है और अंत में 5 घटाती है। शुरुआती संख्या पाने के लिए हम ये संक्रियाएँ उलटे क्रम में उलटेंगे।
43 के लिए 43 + 5 = 48, 48 ÷ 4 = 12 और 12 − 3 = 9। इसलिए पहली संख्या 9 है।
75 के लिए 75 + 5 = 80, 80 ÷ 4 = 20 और 20 − 3 = 17। इसलिए दूसरी संख्या 17 है।
(b) मान लेते हैं कि शुरुआती संख्या x है। ऊपर की शाखा में 3x और नीचे की शाखा में x + 3 मिलता है। मशीन ऊपर वाले मान में से नीचे वाला मान घटाती है। इसलिए परिणाम = 3x − (x + 3) = 2x − 3।
63 के लिए 2x − 3 = 63, इसलिए 2x = 66 और x = 33।
227 के लिए 2x − 3 = 227, इसलिए 2x = 230 और x = 115।
अतः दोनों संख्याएँ क्रमशः 33 और 115 हैं।
5. इन मशीनों में प्रविष्ट आँकड़े क्या हैं?
उत्तर:
पहली मशीन दो बार 3 से भाग देती है।
अतः +5 से पीछे चलते हुए दो बार 3 से गुणा करेंगे। 5 × 3 × 3 = 45।
जाँच करने पर 45 ÷ 3 ÷ 3 = 5 मिलता है।
दूसरी मशीन दो बार 4 घटाती है।
इसलिए शुरुआती संख्या = −11 + 4 + 4 = −3।
जाँच करने पर −3 − 4 − 4 = −11 मिलता है।
6. एक टैक्सी चालक प्रतिदिन ₹800 का एक निश्चित शुल्क और प्रति किलोमीटर यात्रा के लिए ₹20 लेता है। यदि टैक्सी की यात्रा का कुल खर्च ₹2200 है तो तय किए गए किलोमीटर की संख्या ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
मान लेते हैं कि टैक्सी ने x किलोमीटर तय किए। कुल खर्च = निश्चित शुल्क + दूरी का शुल्क।
800 + 20x = 2200
20x = 2200 − 800 = 1400
x = 1400 ÷ 20 = 70।
अतः टैक्सी ने 70 किलोमीटर की दूरी तय की।
7. दो संख्याओं का योग 76 है। एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। वे संख्याएँ क्या हैं?
उत्तर:
छोटी संख्या x हो, तो बड़ी संख्या 3x होगी।
इसलिए x + 3x = 76, अर्थात 4x = 76।
छोटी संख्या = 76 ÷ 4 = 19 और बड़ी संख्या = 3 × 19 = 57।
इनका योग 19 + 57 = 76 है।
8. चित्र में एक जाल वाली खिड़की का आरेख दिखाया गया है। जाल में दो छड़ों के बीच कितना अंतर है?
उत्तर:
खिड़की की कुल ऊँचाई 34 सेमी है। ऊपर और नीचे की पट्टियाँ 3–3 सेमी मोटी हैं। बीच में 2–2 सेमी मोटी 5 छड़ें हैं। इस तरह इनके बीच 6 बराबर खाली जगहें बनती हैं।
मान लेते हैं कि हर खाली जगह की चौड़ाई x सेमी है।
तब 2 × 3 + 5 × 2 + 6x = 34।
6x = 34 − 6 − 10 = 18, इसलिए x = 18 ÷ 6 = 3।
अतः दो छड़ों के बीच 3 सेमी का अंतर है।
9. एक रेस्तराँ में फलों के जूस का मूल्य एक चॉकलेट मिल्कशेक से ₹15 कम है। यदि 4 फलों के जूस और 7 चॉकलेट मिल्कशेक का मूल्य ₹600 है तो फलों के जूस और मिल्कशेक का मूल्य ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
मान लेते हैं कि एक गिलास फलों के जूस का मूल्य x रुपये है।
तब एक चॉकलेट मिल्कशेक का मूल्य x + 15 रुपये होगा।
4x + 7(x + 15) = 600
4x + 7x + 105 = 600
11x = 495, इसलिए x = 45।
अतः एक जूस का मूल्य ₹45 और एक मिल्कशेक का मूल्य ₹60 है।
10. यदि 28p − 36 = 98 दिया गया है तो 14p − 19 और 28p − 38 का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
28p − 38 में 28p − 36 से 2 कम हैं, इसलिए 28p − 38 = 98 − 2 = 96।
अब 14p − 19 का दोगुना 28p − 38 है।
अतः 14p − 19 = 96 ÷ 2 = 48।
दोनों मान पूछे गए क्रम में 48 और 96 हैं।
11. तीन समीकरणों को हल करने के चरण नीचे दिए गए हैं। इनमें त्रुटि को पहचानिए और सुधार कीजिए।
उत्तर:
(a) 6x + 9 = 66 में 6 केवल पहले पद का गुणक है। पूरे समीकरण को 6 से बाँटने पर 9 को भी 6 से बाँटना पड़ता है। इसलिए केवल 6x और 66 में 6 काटकर x + 9 = 11 लिखना गलत है।
सही हल है 6x = 66 − 9 = 57, इसलिए x = 57/6 = 19/2, यानी 9.5।
(b) इसमें कोई त्रुटि नहीं है। 14y + 24 = 36 के दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर 7y + 12 = 18 मिलता है। फिर 7y = 6 और y = 6/7 मिलता है। जाँचने पर 14 × (6/7) + 24 = 12 + 24 = 36 है।
(c) बाईं ओर −5 हटाने के लिए दोनों पक्षों में 5 जोड़ना होगा। दाईं ओर 5 घटाना पहली गलती है। अंतिम चरण में भी −5x = 3 से x = −5/3 लिखते समय भाज्य और भाजक उलट दिए गए हैं।
सही हल है 4x − 5 = 9x + 8, अतः 4x = 9x + 13।
4x − 9x = 13, इसलिए −5x = 13 और x = −13/5।
12. नीचे दिए गए त्रिभुजों के कोणों का माप ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
पहले त्रिभुज में जिन दो भुजाओं पर एक जैसे निशान हैं, वे बराबर हैं। उनके सामने के दोनों कोण भी बराबर हैं। इसलिए दोनों आधार कोण (y + 15)° हैं। त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।
y + (y + 15) + (y + 15) = 180
⇒ 3y + 30 = 180, इसलिए y = 50।
अतः ऊपर का कोण 50° और नीचे के दोनों कोण 65°, 65° हैं।
दूसरे त्रिभुज के लिए x + (x − 10) + (x + 10) = 180।
इससे 3x = 180 और x = 60 मिलता है।
अतः ऊपर का कोण 60°, नीचे बाईं ओर 50° और नीचे दाईं ओर 70° है।
13. चार समीकरण लिखिए जिनका हल u = 6 है।
उत्तर:
मैंने u की जगह 6 रखकर चार समीकरण बनाए।
(i) u + 4 = 10
(ii) u − 2 = 4
(iii) 3u = 18
(iv) u/2 = 3
हर समीकरण में u की जगह 6 रखने पर दोनों पक्ष बराबर हो जाते हैं।
14. बख्शाली पांडुलिपि (300 सामान्य संवत) में निम्नलिखित समस्या का उल्लेख है। पहले व्यक्ति को दी गई राशि ज्ञात नहीं है। दूसरे व्यक्ति को पहले व्यक्ति से दुगुना राशि दी गई है। तीसरे व्यक्ति को दूसरे व्यक्ति से तिगुना राशि दी गई है और चौथे व्यक्ति को तीसरे व्यक्ति से चौगुना राशि दी गई है। वितरित की गई कुल राशि 132 है। पहले व्यक्ति को दी गई राशि कितनी है?
उत्तर:
पहले व्यक्ति को x राशि मिली।
इसलिए दूसरे को 2x, तीसरे को 3 × 2x = 6x और चौथे को 4 × 6x = 24x राशि मिली।
कुल राशि = x + 2x + 6x + 24x = 33x।
33x = 132, इसलिए x = 4।
पहले व्यक्ति को 4 मिले।
जाँचने पर 4 + 8 + 24 + 96 = 132 है।
15. एक जिराफ की ऊँचाई उसकी आधी ऊँचाई से ढाई मीटर अधिक है। जिराफ की ऊँचाई कितनी है?
उत्तर:
मान लेते हैं कि जिराफ की ऊँचाई x मीटर है। तब x = x/2 + 2.5 होगा।
दोनों पक्षों में से x/2 घटाने पर x/2 = 2.5 मिलता है।
इसलिए x = 2 × 2.5 = 5।
अतः जिराफ की ऊँचाई 5 मीटर है।
16. नीचे दो भिन्न-भिन्न आकृतियाँ दी गई हैं। प्रत्येक आकृति छड़ियों से की गई व्यवस्था के क्रम में पहले कुछ स्थानों को दर्शाती है। प्रतिरूप पहचानिए और प्रत्येक आकृति के लिए निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए-
(a) अनुक्रम की स्थिति संख्या 11 में कितने वर्ग हैं?
(b) अनुक्रम की स्थिति संख्या 11 में व्यवस्था बनाने के लिए कितनी छड़ियों की आवश्यकता होगी?
(c) क्या इस क्रम में 85 छड़ियों का उपयोग करके एक व्यवस्था बनाई जा सकती है? यदि हाँ, तो यह किस स्थिति संख्या के अनुरूप होगी?
(d) क्या इस क्रम में 150 छड़ियों का उपयोग करके एक व्यवस्था बनाई जा सकती है? यदि हाँ, तो यह किस स्थिति संख्या के अनुरूप होगी?
उत्तर:
मैंने स्थिति संख्या को n माना। नीचे के चित्र में नारंगी रंग से वे छड़ियाँ दिखाई हैं जो पहले चरण से दूसरे चरण तक जाने पर जुड़ती हैं।
पहली आकृति में पहले चरण पर 1 वर्ग और 6 छड़ियाँ हैं। त्रिभुज की एक भुजा वर्ग के साथ साझी है। हर अगले चरण में एक वर्ग जुड़ता है। उसकी एक भुजा पहले से बनी होती है, इसलिए सिर्फ़ 3 नई छड़ियाँ लगती हैं।
स्थिति n पर वर्गों की संख्या = n और छड़ियों की संख्या = 6 + 3(n − 1) = 3n + 3।
(a) स्थिति 11 पर 11 वर्ग हैं।
(b) 3 × 11 + 3 = 36 छड़ियाँ चाहिए।
(c) 3n + 3 = 85 से 3n = 82 मिलता है। 82 को 3 से भाग देने पर पूर्ण संख्या नहीं मिलती, इसलिए 85 छड़ियों से इस क्रम की कोई व्यवस्था नहीं बनती।
(d) 3n + 3 = 150 से 3n = 147 और n = 49। हाँ, यह स्थिति 49 की व्यवस्था है।
दूसरी आकृति में पहले चरण पर 4 वर्ग हैं। पहला वर्ग 4 छड़ियों से बनता है और उससे जुड़े हर अगले वर्ग के लिए 3 नई छड़ियाँ लगती हैं। इसलिए शुरू में 4 + 3 × 3 = 13 छड़ियाँ हैं। प्रत्येक अगले चरण में 3 वर्ग और 9 छड़ियाँ जुड़ती हैं।
स्थिति n पर वर्गों की संख्या = 4 + 3(n − 1) = 3n + 1 और छड़ियों की संख्या = 13 + 9(n − 1) = 9n + 4।
(a) स्थिति 11 पर 3 × 11 + 1 = 34 वर्ग हैं।
(b) 9 × 11 + 4 = 103 छड़ियाँ चाहिए।
(c) 9n + 4 = 85 से 9n = 81 और n = 9। हाँ, यह स्थिति 9 की व्यवस्था है।
(d) 9n + 4 = 150 से 9n = 146 मिलता है। 146 को 9 से भाग देने पर पूर्ण संख्या नहीं मिलती, इसलिए इस क्रम में 150 छड़ियों वाली कोई व्यवस्था नहीं है।
17. एक संख्या में 36 जोड़ने पर वह अपने आप का दस गुना हो जाती है। वह संख्या क्या है?
उत्तर:
मान लेते हैं कि संख्या x है। उसमें 36 जोड़ने पर 10x मिलता है, इसलिए x + 36 = 10x।
दोनों पक्षों से x घटाने पर 36 = 9x, अतः x = 4।
जाँच करने पर 4 + 36 = 40 और 10 × 4 = 40।
इसलिए वह संख्या 4 है।
18. इन समीकरणों को हल कीजिए-
(a) 5(r + 2) = 10
(b) −3(u + 2) = 2(u − 1)
(c) 2(7 − 2n) = −6
(d) 2(x − 4) = −16
(e) 6(x − 1) = 2(x − 1) − 4
(f) 7 − 3s = 7 − 3s
(g) 2x + 1 = 6 − (2x − 3)
(h) 10 − 5x = 3(x − 4) − 2(x − 7)
उत्तर:
(a) दोनों पक्षों को 5 से भाग देने पर r + 2 = 2।
फिर 2 घटाने पर r = 0।
(b) कोष्ठक खोलने पर −3u − 6 = 2u − 2।
दोनों पक्षों में 3u जोड़ने पर −6 = 5u − 2।
फिर 2 जोड़ने पर −4 = 5u।
इसलिए u = −4/5।
(c) पहले दोनों पक्षों को 2 से भाग देते हैं। इससे 7 − 2n = −3 मिलता है।
अब 7 घटाने पर −2n = −10।
अतः n = 5।
(d) दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर x − 4 = −8।
अब 4 जोड़ने पर x = −4।
(e) दोनों पक्षों से 2(x − 1) घटाने पर 4(x − 1) = −4।
फिर 4 से भाग देने पर x − 1 = −1।
अतः x = 0।
(f) दोनों पक्षों पर एक ही व्यंजक 7 − 3s है।
जैसे, s = 0 रखने पर दोनों पक्ष 7 हैं और s = 1 रखने पर दोनों 4 हैं।
इसी तरह s के हर मान पर बराबरी सही रहेगी।
इसलिए s का हर मान हल है।
(g) दाईं ओर कोष्ठक के पहले ऋण चिह्न है।
इसलिए 6 − (2x − 3) = 6 − 2x + 3 = 9 − 2x।
अब 2x + 1 = 9 − 2x।
दोनों पक्षों में 2x जोड़कर और फिर 1 घटाकर 4x = 8 मिलता है।
अतः x = 2।
(h) कोष्ठक खोलकर दायाँ पक्ष सरल करते हैं।
3(x − 4) − 2(x − 7) = 3x − 12 − 2x + 14 = x + 2।
इसलिए 10 − 5x = x + 2। दोनों पक्षों में 5x जोड़ने पर
10 = 6x + 2।
फिर 2 घटाने पर 8 = 6x।
अतः x = 8/6 = 4/3।
19. आरंभ से अंत तक का मार्ग ढूँढ़ने के लिए समीकरणों को हल कीजिए। अगले पृष्ठ पर दिए गए भागों में अपना कार्य दिखाइए और आगे बढ़ते हुए अपने मार्ग में रंग भरिए।
उत्तर:
मैंने हर खाने का समीकरण हल किया और उस मान वाले रास्ते से अगले खाने में गया। जैसे, आरंभ में x = 4 है, इसलिए पहले 4 वाले रास्ते से नीचे गए। मेरा पूरा मार्ग हरे रंग में है।
(i) 8x = 20 + 3x
⇒ 5x = 20
⇒ x = 4।
नीचे गए।
(ii) 2x − 9 = −3
⇒ 2x = 6
⇒ x = 3।
दाईं ओर गए।
(iii) −2x = −42
⇒ x = 21।
तिरछे ऊपर दाईं ओर गए।
(iv) 15 = 19 − 4x
⇒ 4x = 4
⇒ x = 1।
नीचे गए।
(v) 2x + 3 = x + 5
⇒ x = 2।
फिर नीचे गए।
(vi) 2x + 5 = 3(x − 1)
⇒ 2x + 5 = 3x − 3
⇒ x = 8।
बाईं ओर गए।
(vii) 2(x + 1) − 10 = 18
⇒ 2(x + 1) = 28
⇒ x + 1 = 14
⇒ x = 13।
फिर बाईं ओर गए।
(viii) 8m + 8 = −72
⇒ 8m = −80
⇒ m = −10।
नीचे गए।
(ix) −4 = 16 − 5k
⇒ −20 = −5k
⇒ k = 4।
+4 वाले रास्ते से दाईं ओर गए।
(x) 2x − 9 = 3 − x
⇒ 3x = 12
⇒ x = 4।
दाईं ओर अंत वाले खाने में पहुँचे।
(xi) अंतिम खाने में 30 = 4 − 50n
⇒ 26 = −50n
⇒ n = −13/25।
20. समुद्र तट पर कुछ बच्चे और गधे थे। उनके कुल मिलाकर 28 सिर और 80 पैर हैं। वहाँ कितने गधे हैं? वहाँ कितने बच्चे हैं?
उत्तर:
हर बच्चे और हर गधे का एक सिर है। मान लेते हैं कि गधों की संख्या x है।
तब बच्चों की संख्या 28 − x होगी।
एक गधे के 4 पैर और एक बच्चे के 2 पैर होते हैं।
इसलिए 4x + 2(28 − x) = 80।
कोष्ठक खोलने पर 4x + 56 − 2x = 80, अर्थात 2x + 56 = 80।
इससे 2x = 24 और x = 12।
अतः 12 गधे और 28 − 12 = 16 बच्चे हैं।
जाँच करने पर कुल पैर 12 × 4 + 16 × 2 = 48 + 32 = 80 हैं।
समीकरण हल करने का सही क्रम
समीकरण हल करते समय हर चरण में लिखें कि आपने दोनों पक्षों पर कौन-सी संक्रिया की, ताकि तराजू की तरह संतुलन बना रहे। अज्ञात का मान मिलने के बाद उसे मूल समीकरण में रखकर देखें कि बायाँ पक्ष और दायाँ पक्ष बराबर हैं या नहीं। स्थितियों से समीकरण बनाते समय पहले अज्ञात राशि को शब्दों में पहचानें, फिर उसके लिए अक्षर-संख्या चुनें।
यह अध्याय भाग 1 के ‘अंकगणितीय व्यंजक’ और ‘अक्षर-संख्याओं के उपयोगी व्यंजक’ में सीखे व्यंजकों को समीकरणों तक ले जाता है, जो आगे की कक्षाओं के बीजगणित की नींव है। पूरी पुस्तक दोहराने के लिए कक्षा 7 गणित एनसीईआरटी समाधान पृष्ठ पर भाग 1 और भाग 2 के सभी अध्यायों के समाधान देखें।
