एनसीईआरटी समाधान कक्षा 7 गणित प्रकाश भाग 2 अध्याय 5 बिंदुओं का मिलान
कक्षा 7 गणित भाग 2 अध्याय 5 ‘बिंदुओं का मिलान’ के एनसीईआरटी समाधान – सभी प्रश्नों के हल हिंदी मीडियम सत्र 2026-27 के लिए यहाँ से प्राप्त किए जा सकते हैं। आँकड़ों पर आधारित यह अध्याय सिखाता है कि प्रश्न पूछकर और आँकड़े इकट्ठा करके किसी कथन की जाँच कैसे की जाती है।
एनसीईआरटी कक्षा 7 गणित प्रकाश भाग 2 अध्याय 5 समाधान
कक्षा 7 गणित भाग 2 अध्याय 5 में बिंदु आलेख, न्यूनतम और अधिकतम मान, आँकड़ों का प्रसार, अंकगणितीय माध्य, माध्यिका तथा सामूहिक दंड आलेख को पढ़ना और बनाना सम्मिलित है। ‘आँकड़ों का जासूस’ जैसी गतिविधियों सहित प्रश्नों के हल सत्र 2026-27 की पुस्तक के अनुसार हैं।
कक्षा 7 गणित प्रकाश भाग 2 के पेज 101 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:
पेज 101 – पता लगाइए
1. श्रेयस बल्ले और गेंद से खेल रहा है किंतु क्रिकेट नहीं खेल रहा है। वह गिनता है कि गेंद को नीचे गिरने से पहले कितनी बार बल्ले पर उछाल सकता है। आठ प्रयासों के आँकड़े 6, 2, 9, 5, 4, 6, 3, 5 हैं। गणना कीजिए कि श्रेयस अपने बल्ले से गेंद को औसतन कितनी बार उछाल पाता है।
उत्तर:
आठ प्रयासों में श्रेयस ने गेंद को कुल 6 + 2 + 9 + 5 + 4 + 6 + 3 + 5 = 40 बार उछाला।
एक प्रयास का औसत निकालने के लिए कुल संख्या को प्रयासों की संख्या से भाग देंगे।
औसत = 40 ÷ 8 = 5। इसलिए श्रेयस एक प्रयास में गेंद को औसतन 5 बार उछाल पाता है।
2. ऊपर दिए गए क्रियाकलाप को आप स्वयं करके देखिए। सात या उससे अधिक प्रयास के लिए आँकड़े इकट्ठा कीजिए और औसत निकालिए।
उत्तर:
मैंने बल्ले पर गेंद उछालने के सात प्रयास किए। गेंद गिरने से पहले मैंने उसे क्रम से 4, 5, 3, 6, 2, 5 और 3 बार उछाला।
कुल उछाल = 4 + 5 + 3 + 6 + 2 + 5 + 3 = 28।
मेरा औसत = 28 ÷ 7 = 4 उछाल प्रति प्रयास।
3. अपने आस-पड़ोस में एक पुष्पीय पौधे की पहचान कीजिए। पुष्प के खिलने की ऋतु में एक सप्ताह में प्रतिदिन खिलनेवाले पुष्पों की संख्या पर ध्यान दीजिए। प्रतिदिन खिलनेवाले पुष्पों की औसत संख्या क्या है?
उत्तर:
मैंने अपने घर के पास गुड़हल का एक पौधा चुना। सोमवार से रविवार तक मैंने हर दिन उस पर नए खिले फूल गिने। क्रम से 2, 4, 3, 2, 5, 3 और 2 फूल खिले।
सप्ताह में कुल खिले फूल = 2 + 4 + 3 + 2 + 5 + 3 + 2 = 21।
प्रतिदिन खिले फूलों की औसत संख्या = 21 ÷ 7 = 3 फूल।
4. दो मित्र 100 मीटर की दौड़ का अभ्यास कर रहे हैं। पिछले सप्ताह उनके दौड़ने का समय है— निखिल — 17, 18, 17, 16, 19, 17, 18; सुनील – 20, 18, 18, 17, 16, 16, 17, जो कि सेकंड में है। औसतन कौन अधिक तीव्र दौड़ा?
उत्तर:
निखिल का कुल समय = 17 + 18 + 17 + 16 + 19 + 17 + 18 = 122 सेकंड।
सुनील का कुल समय = 20 + 18 + 18 + 17 + 16 + 16 + 17 = 122 सेकंड।
दोनों ने सात-सात बार दौड़ लगाई। इसलिए दोनों का औसत समय 122 ÷ 7, यानी लगभग 17.43 सेकंड है।
एक ही दूरी के लिए दोनों का औसत समय बराबर है, इसलिए औसतन दोनों एक ही चाल से दौड़े।
5. एक विद्यालय में निरंतर छह वर्षों के दौरान 1555, 1670, 1750, 2013, 2040, 2126 नामांकन हुए। इस अवधि के दौरान विद्यालय में औसत नामांकन ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
छह वर्षों में कुल नामांकन = 1555 + 1670 + 1750 + 2013 + 2040 + 2126 = 11154।
प्रति वर्ष औसत नामांकन = कुल नामांकन ÷ वर्षों की संख्या = 11154 ÷ 6 = 1859।
अतः इन छह वर्षों में हर साल औसतन 1859 विद्यार्थियों का नामांकन हुआ।
कक्षा 7 गणित प्रकाश भाग 2 के पेज 112 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:
पेज 112 – पता लगाइए
1. यहाँपुर और वहाँपुर में प्याज के मूल्यों की माध्यिका ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
दोनों स्थानों के 12-12 मासिक मूल्य हैं। इन्हें छोटे से बड़े क्रम में लिखने पर छठा और सातवाँ मूल्य बीच में होंगे।
इन दोनों का औसत माध्यिका होगा।
यहाँपुर के मूल्य (रुपये प्रति किलोग्राम) हैं—
24, 25, 26, 28, 30, 35, 39, 43, 44, 49, 56, 59।
माध्यिका = (35 + 39) ÷ 2 = 37 रुपये प्रति किलोग्राम।
वहाँपुर के मूल्य हैं—
17, 19, 23, 30, 35, 38, 39, 42, 42, 52, 53, 60।
माध्यिका = (38 + 39) ÷ 2 = 38.50 रुपये प्रति किलोग्राम।
2. संस्कृति ने अपनी कक्षा के विद्यार्थियों से पूछा कि प्रत्येक विद्यार्थी के घर में कितने पालतू पशु हैं। कुछ विद्यार्थी अनुपस्थित थे। आँकड़ों के मान 0, 1, 0, 4, 8, 0, 0, 2, 1, 1, 5, 3, 4, 0, 0, —, 10, 25, 2, —, 2, 4 हैं। माध्य और माध्यिका ज्ञात कीजिए। आप इन आँकड़ों का वर्णन कैसे करेंगे?
उत्तर:
जिसने 0 कहा, उसके घर में कोई पालतू पशु नहीं है। ‘—’ का अर्थ है कि विद्यार्थी अनुपस्थित था।
इसलिए दोनों ‘—’ छोड़कर बाकी 20 उत्तर लेंगे। इनका योग 72 है। माध्य = 72 ÷ 20 = 3.6 पशु।
बढ़ते क्रम में मान हैं— 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 8, 10, 25।
10वाँ और 11वाँ मान दोनों 2 हैं।
इसलिए माध्यिका = 2 पशु।
छह विद्यार्थियों के घर में कोई पालतू पशु नहीं है। 20 में से 12 ने 0, 1 या 2 पशु बताए।
एक विद्यार्थी के घर में 25 पशु हैं।
इतना बड़ा मान माध्य को ऊपर खींचता है, इसलिए यहाँ माध्यिका 2 से अधिकांश घरों का बेहतर अंदाज़ मिलता है।
3. रिंटू हावड़ा में खजूर के पेड़ों के खेत की देखभाल करता है। उसके खेत में पेड़ों की ऊँचाई (फुट में) — ‘50, 45, 43, 52, 61, 63, 46, 55, 60, 55, 59, 56, 56, 49, 54, 65, 66, 51, 44, 58, 60, 54, 52, 57, 61, 62, 60, 60, 67’ है। बिंदु आलेख भरिए तथा माध्य और माध्यिका को चिह्नित कीजिए। आप इन खजूर के पेड़ों की ऊँचाई का वर्णन कैसे करेंगे? क्या आप माध्य ज्ञात करने की कोई अन्य त्वरित विधि सोच सकते हैं? कितने पेड़ औसत ऊँचाई से छोटे हैं?
उत्तर:
मैंने हर पेड़ की ऊँचाई पर एक बिंदु लगाया। जहाँ ऊँचाई दोहराई गई है, वहाँ बिंदु एक के ऊपर एक हैं।
जैसे, 60 फुट पर चार बिंदु हैं। सभी 29 पेड़ों की ऊँचाइयों का योग 1621 फुट है।
माध्य = 1621 ÷ 29 ≈ 55.90 फुट। बढ़ते क्रम में 29 मानों के बीच का, यानी 15वाँ मान 56 है।
अतः माध्यिका 56 फुट है।
पेड़ों की ऊँचाइयाँ 43 से 67 फुट के बीच हैं।
माध्य और माध्यिका दोनों लगभग 56 फुट हैं।
55 फुट या उससे छोटे 13 पेड़ हैं।
यही 13 पेड़ औसत से छोटे हैं।
एक तेज़ तरीका यह है कि पहले हर पेड़ की ऊँचाई 56 फुट मान लें।
छोटे पेड़ों में कुल 78 फुट की कमी है और बड़े पेड़ों में कुल 75 फुट की बढ़त है।
कुल कमी 3 फुट हुई।
इसलिए माध्य = 56 − 3/29 ≈ 55.90 फुट।
4. एक नल से प्रतिदिन होने वाली जल की खपत को मापा गया। पहले कुछ दिनों में लीटर में खपत इस प्रकार है — 5.6, 8, 3.09, 12.9, 6.5, 12.1, 11.3, 20.5, 7.4
(a) क्या प्रतिदिन खपत का माध्य या माध्यिका 25 और 30 के बीच हो सकता है? माध्य और माध्यिका के अर्थ का प्रयोग करके अपने दावे को उचित ठहराइए।
(b) क्या किसी आँकड़े में माध्य या माध्यिका न्यूनतम मान से कम या अधिकतम मान से अधिक हो सकता है?
उत्तर:
(a) नहीं। सबसे अधिक खपत 20.5 लीटर है। यदि नौ दिनों की खपत को बराबर बाँट दें, तो हर दिन का हिस्सा 20.5 लीटर से अधिक नहीं हो सकता। वास्तव में माध्य = 87.39 ÷ 9 = 9.71 लीटर है। बढ़ते क्रम में बीच का, यानी पाँचवाँ मान 8 लीटर है। इसलिए माध्यिका 8 लीटर है। दोनों 25 लीटर से छोटे हैं।
(b) नहीं। माध्य सब मानों का बराबर हिस्सा है। वह सबसे छोटे मान से कम या सबसे बड़े मान से अधिक नहीं हो सकता। माध्यिका क्रम में बीच का मान या बीच के दो मानों का औसत है, इसलिए वह भी इन सीमाओं के भीतर रहती है।
5. कुछ नवजात शिशुओं का भार किलोग्राम में दिया गया है। नीचे दिए गए बिंदु आलेख को भरिए। इन आँकड़ों का विश्लेषण कीजिए और उनकी तुलना कीजिए।
उत्तर:
मैंने एक ही पैमाने पर दोनों समूहों के बिंदु लगाए। बालिकाओं में 3.4 किलोग्राम दो बार आया है, इसलिए वहाँ दो बिंदु एक के ऊपर एक हैं।
बालकों का माध्य भार = 20.6 ÷ 6 ≈ 3.43 किलोग्राम।
भार क्रम में रखने पर बीच के दो मान 3.4 और 3.5 हैं।
माध्यिका = (3.4 + 3.5) ÷ 2 = 3.45 किलोग्राम।
बालिकाओं का माध्य भार = 20.1 ÷ 6 = 3.35 किलोग्राम।
बीच के दोनों मान 3.4 हैं, इसलिए माध्यिका 3.4 किलोग्राम है।
इन शिशुओं में बालकों का औसत भार थोड़ा अधिक है।
दोनों समूहों में सबसे बड़े और सबसे छोटे भार का अंतर बराबर है—
बालकों में 4.1 − 2.6 = 1.5 किलोग्राम और बालिकाओं में 4.0 − 2.5 = 1.5 किलोग्राम।
6. पूर्व में बताए गए विद्यालय की कक्षा 5 के दूसरे अनुभाग के विद्यार्थियों की ऊँचाई के बिंदु आलेख नीचे दर्शाए गए हैं। क्या आप अपने प्रेक्षणों को साझा कर सकते हैं? हम बिंदु आरेख और केंद्रीय प्रवृत्ति माप से क्या अनुमान लगा सकते हैं?
दोनों अनुभागों की ऊँचाई की तुलना कीजिए। अपने प्रेक्षणों को साझा कीजिए।
उत्तर:
दूसरे अनुभाग में बालकों की औसत ऊँचाई लगभग 142.05 सेमी और बालिकाओं की लगभग 140.14 सेमी है।
बालिकाओं की ऊँचाइयाँ 126 से 158 सेमी तक फैली हैं, जबकि बालकों की 130 से 148 सेमी तक।
इसलिए बालिकाओं की ऊँचाइयों में अधिक फैलाव है।
पहले अनुभाग की औसत ऊँचाई 144.4 सेमी और माध्यिका 145 सेमी थी।
दूसरे अनुभाग में ये क्रमशः करीब 141.2 सेमी और 142.5 सेमी हैं।
पहले अनुभाग की औसत ऊँचाई करीब 3.2 सेमी अधिक है।
उसमें बालिकाओं का माध्य बालकों से अधिक था (146.9 सेमी और 142.94 सेमी)।
दूसरे अनुभाग में बालकों का माध्य अधिक है।
बिंदु गिनने पर दूसरे अनुभाग के 18 बालकों का 9वाँ मान 143 और 10वाँ मान 144 सेमी है।
इनसे माध्यिका 143.5 सेमी आती है, जबकि चित्र में 143 सेमी लिखा है।
इसी तरह बालिकाओं में 126 सेमी का बिंदु है, पर पूरी कक्षा के आलेख में यह बिंदु दिखाई नहीं देता।
7. कुछ सूमो पहलवानों और बैले नर्तकों का भार इस प्रकार है— सूमो पहलवान— 295.2 kg, 250.7 kg, 234.1 kg, 221.0 kg, 200.9 kg बैले नर्तक— 40.3 kg, 37.6 kg, 38.8 kg, 45.5 kg, 44.1 kg, 48.2 kg। एक सूमो पहलवान, एक बैले नर्तक की तुलना में लगभग कितने गुना भारी है?
उत्तर:
दोनों समूहों में लोगों की संख्या अलग है, इसलिए उनके औसत भार की तुलना करेंगे।
5 सूमो पहलवानों का औसत भार = 1201.9 ÷ 5 = 240.38 किलोग्राम।
6 बैले नर्तकों का औसत भार = 254.5 ÷ 6 ≈ 42.42 किलोग्राम।
240.38 ÷ 42.42 ≈ 5.67। इसलिए इन समूहों में एक सूमो पहलवान औसतन एक बैले नर्तक से लगभग 5.7 गुना, यानी करीब 6 गुना भारी है।
कक्षा 7 गणित प्रकाश भाग 2 के पेज 122 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:
पेज 122 – पता लगाइए
1. नीचे दिया गया सूचनालेख (इन्फ़ोग्राफ़िक) वायवीय, स्थलीय और जलीय जीवों की गति को दर्शाता है। क्या हम इस आलेख को दंड आलेख कह सकते हैं?
(a) इस आलेख में कौन-से पैमाने का उपयोग किया गया है?
(b) इस सूचनालेख में आपको क्या रोचक लगा? आगे आप और क्या जानने के लिए उत्सुक हैं?
(c) ऐसे जीवों की जोड़ी पहचानिए जिनमें से एक की गति दूसरे से लगभग दोगुनी हो।
(d) क्या हम कह सकते हैं कि एक सेलफिश की गति, हंपबैक व्हेल से लगभग 4 गुना तीव्र होती है? क्या हम कह सकते हैं कि सेलफिश विश्व में सबसे तीव्र गति वाला जलीय जीव है?
उत्तर:
हाँ। हर जीव के लिए एक क्षैतिज दंड है। सभी दंड शून्य से शुरू होते हैं और उनकी लंबाई जीव की अधिकतम गति दिखाती है। रंग से पता चलता है कि गति हवा में, भूमि पर या पानी में है।
(a) क्षैतिज पैमाने पर एक अंतराल लगभग 16 किलोमीटर प्रति घंटा दिखाता है। उदाहरण के लिए, शुरुआत में 0, 16, 32 और 48 के निशान हैं।
(b) मुझे यह रोचक लगा कि सेलफिश पानी में 109 किमी प्रति घंटे और चीता भूमि पर 103 किमी प्रति घंटे की गति तक पहुँचते हैं। मैं जानना चाहूँगा कि ये जीव अपनी सबसे तेज गति कितनी देर तक बनाए रख सकते हैं।
(c) पेरेग्रीन बाज की गति 322 किमी प्रति घंटा और स्पाइन-टेल्ड स्विफ्ट की 170 किमी प्रति घंटा है। 170 का दोगुना 340 है। इसलिए बाज की गति स्विफ्ट की गति से लगभग दोगुनी है।
(d) हंपबैक व्हेल की गति 26 किमी प्रति घंटा है। इसका चार गुना 104 है, जो सेलफिश की गति 109 के पास है। इसलिए पहला कथन सही है। सेलफिश यहाँ दिखाए गए जलीय जीवों में सबसे तेज है। पूरे विश्व के बारे में कहने के लिए बाकी जलीय जीवों की गति भी जाननी होगी।
2. प्रेयशी ने अपने विद्यार्थियों से पूछा, “यदि आपको जलीय (पानी-जनित), वायवीय (वायु-जनित) या अंतरिक्ष-जनित बनने की अलौकिक शक्ति मिले तो आप क्या चुनेंगे?” विद्यार्थियों के उत्तर नीचे दिए गए हैं। कुछ विद्यार्थियों ने कोई विकल्प नहीं चुना। कक्षा के दोनों अनुभागों ने प्रत्येक विकल्प को कैसे चुना, इसकी तुलना करते हुए एक द्वि-दंड आलेख बनाइए। एक उचित पैमाना चुनिए।
उत्तर:
मैंने w को जल, a को वायु, s को अंतरिक्ष और n को कोई विकल्प नहीं मानकर गिना।
कक्षा 5 में इन चारों की संख्या क्रम से 6, 13, 2 और 4 है।
कक्षा 9 में ये संख्याएँ 6, 8, 9 और 2 हैं। दोनों कक्षाओं में कुल 25–25 उत्तर हैं।
मैंने हर विकल्प के लिए दोनों कक्षाओं के दंड साथ-साथ बनाए।
खड़ी धुरी पर एक अंतराल = 2 विद्यार्थी रखा।
जल का विकल्प दोनों कक्षाओं में बराबर विद्यार्थियों ने चुना। कक्षा 5 में वायु सबसे लोकप्रिय थी, जबकि कक्षा 9 में सबसे अधिक विद्यार्थियों ने अंतरिक्ष चुना।
3. नीचे विभिन्न माहों में जोधपुर, राजस्थान में दो दिनों के दौरान विभिन्न तापमान दिए गए हैं। एक द्वि-दंड आलेख बनाइए। 1 इकाई = 4°C पैमाने का प्रयोग कीजिए। क्या आप अनुमान लगा सकते हैं कि ये दिन किन दो महीनों के हो सकते हैं?
उत्तर:
मैंने समय को क्षैतिज धुरी पर और तापमान को खड़ी धुरी पर रखा। खड़ी धुरी पर 0, 4, 8, 12, … के निशान लगाए। हर समय के लिए पहला दंड दिन 1 का और दूसरा दिन 2 का है। जैसे, दोपहर 3 बजे दोनों दंड 34°C और 43°C तक पहुँचते हैं।
दिन 1 में तापमान 16°C से 34°C के बीच है। दिन 2 में रात और सुबह भी काफ़ी गर्मी है और तापमान 30°C से 43°C के बीच है।
मेरा अनुमान है कि पहला दिन मार्च का और दूसरा दिन मई का हो सकता है।
केवल एक दिन के तापमान से महीना पक्का नहीं बताया जा सकता।
4. निम्नलिखित सामूहिक-दंड आलेख वर्ष 2022 से वर्ष 2024 तक प्रतिवर्ष कुछ राज्यों में पंजीकृत विद्युत चालित वाहनों की संख्या दर्शाता है।
(a) गुजरात और दिल्ली राज्यों के आँकड़े (हजार में पूर्णांकित) निम्नलिखित सारणी में दिए गए हैं। दंड आलेख पर संबंधित दंड को चिह्नित कीजिए। (आपके लिए दंड के ऊपरी भाग को दो उपयुक्त ऊर्ध्वाधर दिशानिर्देशों के बीच रखना पर्याप्त है।)
(b) ध्यान दीजिए कि आलेख को कैसे सुव्यवस्थित किया गया है, किस पैमाने का उपयोग किया गया है और आँकड़े कौन-से प्रतिरूपों को प्रदर्शित करते हैं।
(c) वर्ष 2022 और वर्ष 2024 के बीच विभिन्न राज्यों में आए परिवर्तन को आप कैसे बताएँगे?
(d) वर्ष 2022 की तुलना में वर्ष 2023 में असम में लगभग कितने अधिक पंजीकरण हुए?
(e) पश्चिम बंगाल में वर्ष 2022 से वर्ष 2024 तक पंजीकरण में कितने गुना वृद्धि हुई?
(f) क्या यह कथन सही है, “उत्तराखंड में वर्ष 2023 और वर्ष 2024 में बहुत कम नए पंजीकरण हुए, क्योंकि दंड की लंबाई में वृद्धि बहुत कम है?”
उत्तर:
(a) गुजरात के लिए 2022, 2023 और 2024 के दंड क्रम से 69,000, 89,000 और 78,000 तक बनाए। दिल्ली के लिए इसी क्रम में दंड 62,000, 74,000 और 81,000 तक बनाए।
(b) क्षैतिज धुरी पर राज्य और खड़ी धुरी पर एक वर्ष में हुए पंजीकरणों की संख्या है। अंकित बड़े निशानों के बीच 25,000 और पास-पास की छोटी रेखाओं के बीच 5,000 पंजीकरण का अंतर है। हर राज्य के तीन रंगीन दंड तीन वर्षों की तुलना करने में मदद करते हैं।
(c) हर राज्य में 2024 का दंड 2022 से ऊँचा है। उत्तराखंड में बढ़ोतरी थोड़ी है, जबकि पश्चिम बंगाल, आंध्र प्रदेश, ओडिशा और असम में अधिक है। दिल्ली में पंजीकरण दोनों साल बढ़े। गुजरात में वे पहले बढ़े, फिर 2024 में घटे, पर 2022 से अधिक रहे।
(d) असम में 2022 में लगभग 40,000 और 2023 में लगभग 60,000 पंजीकरण हुए। अंतर लगभग 60,000 − 40,000 = 20,000 पंजीकरण है।
(e) पश्चिम बंगाल में पंजीकरण लगभग 10,000 से बढ़कर लगभग 43,000 हो गए। 43,000 ÷ 10,000 ≈ 4.3, यानी 2024 की संख्या 2022 की लगभग चार गुनी थी।
(f) नहीं। उत्तराखंड के दंडों की ऊँचाई में कम अंतर होने का अर्थ है कि एक वर्ष की तुलना में अगले वर्ष की संख्या थोड़ी बढ़ी। दंडों की पूरी ऊँचाई देखें तो 2023 में लगभग 17,000 और 2024 में लगभग 19,000 नए वाहन पंजीकृत हुए।
कक्षा 7 गणित प्रकाश भाग 2 के पेज 129 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:
पेज 129 – पता लगाइए
1. निम्नांकित बिंदु आलेख बालकों के एक समूह और बालिकाओं के एक समूह के वस्त्रों पर जेबों की संख्या के वितरण को दर्शाते हैं।
बिंदु आलेख के आधार पर नीचे दिए गए कथनों में से कौन से कथन सत्य हैं?
(a) बालिकाओं की तुलना में बालकों के आँकड़े में भिन्नता अधिक है।
(b) बालकों के लिए जेबों की माध्यिका संख्या बालिकाओं की तुलना में अधिक है।
(c) बालिकाओं के लिए जेबों की औसत संख्या बालकों की तुलना में अधिक है।
(d) बालकों के लिए जेबों की अधिकतम संख्या बालिकाओं की तुलना में अधिक है।
उत्तर:
हर चिह्न एक विद्यार्थी को दिखाता है। किसी संख्या के ऊपर जितने चिह्न हैं, उतने विद्यार्थियों के वस्त्रों पर उतनी जेबें हैं।
(a) असत्य। बालकों के लिए सबसे कम 3 और सबसे अधिक 6 जेबें हैं।
उनका प्रसार 6 − 3 = 3 है।
बालिकाओं के लिए प्रसार 6 − 0 = 6 है।
इसलिए बालिकाओं के आँकड़े अधिक फैले हैं।
(b) सत्य। 12 बालकों की जेबों की संख्याएँ क्रम में लेने पर छठा और सातवाँ मान दोनों 5 हैं।
इसलिए माध्यिका 5 है।
13 बालिकाओं के लिए बीच का सातवाँ मान 4 है।
(c) असत्य। बालकों की कुल जेबें = 3 × 1 + 4 × 4 + 5 × 5 + 6 × 2 = 56।
उनका माध्य 56 ÷ 12 ≈ 4.67 है।
बालिकाओं की कुल जेबें = 0 × 1 + 2 × 1 + 3 × 4 + 4 × 5 + 5 × 1 + 6 × 1 = 45।
उनका माध्य 45 ÷ 13 ≈ 3.46 है।
(d) असत्य। दोनों समूहों में अधिकतम संख्या 6 ही है। इसलिए केवल कथन (b) सत्य है।
2. नीचे दी गई सारणी में चार खेलों में प्रत्येक खिलाड़ी द्वारा अर्जित किए गए अंक दर्शाए गए हैं-
अब निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दीजिए—
(a) A द्वारा प्रत्येक खेल में अर्जित औसत अंक ज्ञात कीजिए।
(b) C द्वारा प्रत्येक खेल में अर्जित अंकों का औसत ज्ञात करने के लिए क्या आप कुल अर्जित अंकों को 3 से या 4 से विभाजित करेंगे? क्यों? B के विषय में आप क्या सोचते हैं?
(c) सबसे अच्छा प्रदर्शन किसका है?
उत्तर:
(a) A ने चार खेल खेले। उसके औसत अंक = (14 + 16 + 10 + 10) ÷ 4 = 50 ÷ 4 = 12.5 अंक।
(b) C तीसरा खेल नहीं खेला था। इसलिए उसके कुल अंकों को 3 से बाँटेंगे।
उसका औसत = (8 + 11 + 13) ÷ 3 = 32/3, यानी लगभग 10.67 अंक।
B ने पहला खेल खेला और उसमें उसे 0 अंक मिले। वह खेल भी गिना जाएगा।
B का औसत = (0 + 8 + 6 + 4) ÷ 4 = 4.5 अंक।
(c) प्रति खेल औसत अंकों के आधार पर A का प्रदर्शन सबसे अच्छा है, क्योंकि उसका औसत 12.5 अंक है।
3. सामान्य ज्ञान प्रश्नोत्तरी में विद्यार्थियों के एक समूह द्वारा प्राप्त अंक (100 में से) 85, 76, 90, 85, 39, 48, 56, 95, 81 और 75 हैं। उसी प्रश्नोत्तरी में एक अन्य समूह के अंक 68, 59, 73, 86, 47, 79, 90, 93 और 86 हैं। माध्य और माध्यिका का उपयोग करते हुए दोनों समूहों के प्रदर्शन की तुलना और वर्णन कीजिए।
उत्तर:
पहले समूह के अंक छोटे से बड़े क्रम में हैं—
39, 48, 56, 75, 76, 81, 85, 85, 90, 95।
इनका योग 730 है, इसलिए माध्य = 730 ÷ 10 = 73।
बीच के दो अंक 76 और 81 हैं, इसलिए माध्यिका = (76 + 81) ÷ 2 = 78.5।
दूसरे समूह के क्रमबद्ध अंक हैं—
47, 59, 68, 73, 79, 86, 86, 90, 93।
इनका योग 681 है, इसलिए माध्य = 681 ÷ 9 ≈ 75.67।
नौ अंकों में बीच का पाँचवाँ अंक 79 है, इसलिए माध्यिका 79 है।
दोनों समूहों की माध्यिकाएँ पास-पास हैं।
माध्य और माध्यिका दोनों से देखें तो दूसरे समूह का प्रदर्शन थोड़ा बेहतर रहा, जबकि सबसे अधिक अंक 95 पहले समूह में मिले।
4. एक कॉलोनी के सर्वेक्षण द्वारा एकत्र किए गए आँकड़ों पर विचार कीजिए।
एक उपयुक्त पैमाना चुनिए और एक द्वि-दंड आलेख बनाइए। अपने प्रेक्षणों को लिखिए।
उत्तर:
मैंने खड़ी धुरी पर लोगों की संख्या के लिए एक बड़ा अंतराल = 200 लोग रखा।
हर खेल के लिए दर्शकों और प्रतिभागियों के दो दंड साथ-साथ बनाए।
सभी खेलों में दर्शक प्रतिभागियों से अधिक हैं।
क्रिकेट में सबसे अधिक दर्शक (1240) और सबसे अधिक प्रतिभागी (620) हैं।
एथलेटिक्स में दोनों संख्याएँ सबसे कम हैं।
बास्केट बॉल और तैराकी में प्रतिभागियों की संख्या बराबर है, 320।
5. 17 विद्यार्थियों के एक समूह पर विचार कीजिए जिनकी ऊँचाई (cm में) 106, 110, 123, 125, 117, 120, 112, 115, 110, 120, 115, 102, 115, 115, 109, 115, 101 है। खेल शिक्षिका कक्षा को दो समूह में बाँटना चाहती हैं जिससे प्रत्येक समूह में विद्यार्थियों की संख्या एकसमान हो — एक समूह में ऐसे विद्यार्थी हैं जिनकी ऊँचाई एक विशेष ऊँचाई से कम है और दूसरे समूह में ऐसे विद्यार्थी हैं जिनकी ऊँचाई उस विशेष ऊँचाई से अधिक है। ऐसा करने की कोई विधि बताइए। क्या आप ‘रोमांचक कहानियाँ सुनाना’ अनुभाग में सारणीबद्ध आँकड़ों के आधार पर इन विद्यार्थियों की आयु का अनुमान लगा सकते हैं?
उत्तर:
ऊँचाइयों को छोटे से बड़े क्रम में लिखने पर बीच का नौवाँ मान 115 सेमी मिलता है। यही माध्यिका है। लेकिन 115 सेमी से छोटे 7 विद्यार्थी, ठीक 115 सेमी के 5 विद्यार्थी और इससे बड़े 5 विद्यार्थी हैं। इसलिए केवल ‘कम’ और ‘अधिक’ की शर्त से दो बराबर समूह नहीं बनते। कुल 17 विद्यार्थी भी दो बराबर समूहों में नहीं बँट सकते।
यदि दो बराबर खेल-दल चाहिए, तो 115 सेमी ऊँचाई वाले एक विद्यार्थी को बारी से निर्णायक बना सकते हैं। बचे चार बराबर ऊँचाई वाले विद्यार्थियों में से एक को छोटे 7 के साथ और तीन को बड़े 5 के साथ रखने पर 8–8 के दल बनेंगे। इसमें 115 सेमी वाले विद्यार्थी दोनों दलों में होंगे।
समूह की औसत ऊँचाई = 1930 ÷ 17 ≈ 113.5 सेमी है।
सारणी में 2019 में 6 वर्ष के बालकों और बालिकाओं की औसत ऊँचाइयाँ 113.1 और 112.9 सेमी हैं।
1989 में 7 वर्ष के बच्चों के औसत भी इसके पास हैं।
इसलिए लगभग 6–7 वर्ष एक अनुमान है। केवल ऊँचाई देखकर किसी की सही आयु नहीं बता सकते।
6. अपनी कक्षा की ऊँचाई का माध्य और माध्यिका बताइए। आप बिंदु आलेख पर ऊँचाइयों का दृश्यांकन कर सकते हैं।
उत्तर:
हमने अपनी कक्षा के 24 विद्यार्थियों की ऊँचाइयाँ मापीं। बिंदु आलेख में हर बिंदु एक विद्यार्थी को दिखाता है।
सभी ऊँचाइयों का योग 3624 सेमी है। इसलिए माध्य = 3624 ÷ 24 = 151 सेमी।
ऊँचाइयाँ छोटे से बड़े क्रम में रखने पर 12वाँ और 13वाँ मान दोनों 151 सेमी हैं। इसलिए माध्यिका भी 151 सेमी है।
7. एक विद्यालय में कक्षा 7 के दो अनुभाग हैं। प्रत्येक अनुभाग में 15 बालक और 15 बालिकाएँ हैं। एक अनुभाग में, विद्यार्थियों की औसत ऊँचाई 154.2 cm है। इस जानकारी से दूसरे अनुभाग में विद्यार्थियों की औसत ऊँचाई के बारे में क्या सत्य होना चाहिए?
(a) दूसरे अनुभाग में विद्यार्थियों की औसत ऊँचाई 154.2 cm है।
(b) दूसरे अनुभाग में विद्यार्थियों की औसत ऊँचाई 154.2 cm से कम है।
(c) दूसरे अनुभाग में विद्यार्थियों की औसत ऊँचाई 154.2 cm से अधिक है।
(d) दूसरे अनुभाग के विद्यार्थियों की औसत ऊँचाई निर्धारित नहीं की जा सकती।
उत्तर:
सही विकल्प (d) है।
दोनों अनुभागों में 30–30 विद्यार्थी हैं, पर उनकी कुल ऊँचाई एक जैसी होना ज़रूरी नहीं है।
दूसरे अनुभाग की औसत ऊँचाई के लिए हमें वहाँ के विद्यार्थियों की कुल ऊँचाई भी जाननी होगी।
8. तूफान का डटकर सामना करना।
(a) न्यूयॉर्क, टोक्यो और लंदन में गगनचुंबी इमारतों की संख्या के आकलित मान लिखिए।
(b) क्या निम्नलिखित कथन सत्य हैं?
(i) केवल 12 शहरों में मुंबई से अधिक गगनचुंबी इमारतें हैं।
(ii) केवल 7 शहरों में मुंबई से कम गगनचुंबी इमारतें हैं।
(iii) विश्व की सबसे ऊँची इमारत हांगकांग में है।
उत्तर:
(a) दंडों की लंबाइयों की तुलना पास के लिखे मानों से करने पर न्यूयॉर्क में लगभग 315, टोक्यो में लगभग 166 और लंदन में लगभग 30 गगनचुंबी इमारतें हैं। ये अनुमान हैं।
(b) (i) आलेख में दिखाए गए शहरों के लिए सत्य। मुंबई के ऊपर 12 शहर हैं। उनमें से हरेक में मुंबई की 86 इमारतों से अधिक इमारतें हैं।
(ii) दिखाए गए शहरों के लिए सत्य। मुंबई के नीचे 7 शहर हैं। दुनिया के बाकी शहरों की संख्या इस आलेख में नहीं दी गई है।
(iii) इस आलेख से यह तय नहीं कर सकते। हांगकांग में 150 मीटर से ऊँची इमारतों की संख्या सबसे अधिक है। इससे किसी एक इमारत की ऊँचाई का पता नहीं चलता।
9. आगे दी गई सारणी में दी गई वस्तुओं के लिए पहले अनुमान लगाइए और फिर उन्हें मापिए। आँकड़ों के आधार पर एक द्वि-दंड आलेख बनाइए। आपके अनुमान कितने सही थे? अनुमानित और मापित मान के बीच औसत अंतर ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
मैंने पहले लंबाइयों का अनुमान लगाया और फिर पैमाने से उन्हें मापा। हर बार बड़ी लंबाई में से छोटी लंबाई घटाकर धनात्मक अंतर लिखा।
आलेख में एक बड़ा अंतराल = 5 सेमी है।
मेरी गणित की अभ्यास पुस्तिका का अनुमान बिल्कुल सही था।
रबड़ और हथेली के अनुमानों में सबसे अधिक, 1–1 सेमी का अंतर था।
पाँचों के लिए औसत अंतर = (0.5 + 1 + 1 + 0.5 + 0) ÷ 5 = 0.6 सेमी।
10. अदिति को पहेलियाँ हल करना पसंद है। उसने कुछ दिन पहले ही ‘सरल’ स्तर की सुडोकू पहेलियाँ हल करना आरंभ किया है। इन पहेलियों को हल करने में उसे जो समय सेकंड में लगा वह 410, 400, 370, 340, 360, 400, 320, 330, 310, 320, 290, 380, 280, 270, 230, 220, 240 है। पहले नौ मान सप्ताह 1 के हैं और अन्य मान सप्ताह 2 के हैं।
(a) नीचे दो सप्ताह के आँकड़ों को प्रदर्शित करने वाला एक बिंदु आलेख बनाइए।
(b) आँकड़ों के माध्य, माध्यिका और आपके प्रेक्षणों के बारे में बताइए।
उत्तर:
(a) मैंने सप्ताह 1 के समय त्रिकोण से और सप्ताह 2 के समय गोल बिंदु से दिखाए हैं। समान समय आने पर चिह्न एक-दूसरे के ऊपर रखे हैं।
(b) सप्ताह 1 के नौ समयों का योग 3240 सेकंड है। माध्य = 3240 ÷ 9 = 360 सेकंड। क्रम में पाँचवाँ मान 360 है, इसलिए माध्यिका भी 360 सेकंड है।
सप्ताह 2 के आठ समयों का योग 2230 सेकंड है। माध्य = 2230 ÷ 8 = 278.75 सेकंड। बीच के दो मान 270 और 280 हैं।
अतः माध्यिका = (270 + 280) ÷ 2 = 275 सेकंड।
दूसरे सप्ताह में माध्य और माध्यिका दोनों घटे। अदिति को सामान्यतः पहेली हल करने में पहले से कम समय लगा।
फिर भी दूसरे सप्ताह एक पहेली में 380 सेकंड लगे, इसलिए हर पहेली का समय कम नहीं था।
11. व्यक्तिगत परियोजना — इनमें से कम से कम एक का चयन कीजिए-
(a) एक वाक्य कितना लंबा होता है? भिन्न-भिन्न विषयों की कोई भी दो पाठ्यपुस्तकें चुनिए। प्रत्येक पुस्तक से बहुत अधिक लिखा हुआ कोई भी एक पृष्ठ चुनिए।
(i) प्रत्येक पृष्ठ पर वाक्यों में कितने शब्द हैं, यह बताने के लिए बिंदु आलेख का प्रयोग कीजिए।
(ii) माध्य और माध्यिका का उपयोग करते हुए दोनों पृष्ठों के आँकड़ों की तुलना कीजिए।
(b) नाम में क्या रखा है? अपने कक्षा के सभी सहपाठियों के नाम (अंग्रेजी में) लिखिए। नीचे कुछ रोचक बातें दी गई हैं जो आप आँकड़ों के साथ कर सकते हैं!
(i) नाम लंबाई (नाम में अक्षरों की संख्या) की माध्य और माध्यिका ज्ञात कीजिए।
(ii) आँकड़ों का दृश्यांकन कीजिए तथा उसकी भिन्नता और केंद्रीय प्रवृत्ति के विषय में बताइए।
(iii) कौन-से आरंभिक अक्षर अधिक लोकप्रिय हैं? कौन-से आरंभिक अक्षर कम लोकप्रिय हैं?
(iv) आरंभिक अक्षर की माध्यिका क्या है? यह A–M और N–Z अक्षरों से आरंभ होने वाले नामों की संख्या के बारे में क्या बताता है?
(v) एक द्वि-दंड आलेख बनाइए जिसमें ऐसे बालकों और बालिकाओं के नामों की संख्या प्रदर्शित हो जो—
• वॉवेल से आरंभ और वॉवेल पर समाप्त हो
• वॉवेल से आरंभ हो और कॉन्सोनेंट पर समाप्त हो
• कॉन्सोनेंट से आरंभ हो और वॉवेल पर समाप्त हो
• कॉन्सोनेंट से आरंभ और कॉन्सोनेंट पर समाप्त हो
उत्तर:
मैंने विकल्प (a) चुना। मैंने हिंदी और विज्ञान की पुस्तकों से एक-एक पेज चुना। दोनों पेजों पर 14 पूरे वाक्य थे। मैंने हर वाक्य के शब्द गिने।
(i) हिंदी के वाक्यों में शब्दों की संख्या थी— 8, 10, 12, 7, 9, 11, 10, 8, 10, 12, 9, 11, 14, 9।
विज्ञान के वाक्यों में शब्दों की संख्या थी— 14, 16, 18, 12, 15, 17, 16, 14, 16, 18, 15, 17, 20, 16।
आलेख में हर बिंदु एक वाक्य दिखाता है। जैसे, विज्ञान की पंक्ति में 16 के ऊपर चार बिंदु हैं, क्योंकि चार वाक्यों में 16-16 शब्द थे।
(ii) हिंदी के 14 वाक्यों में कुल 140 शब्द थे। माध्य = 140 ÷ 14 = 10 शब्द प्रति वाक्य। आँकड़ों को छोटे से बड़े क्रम में रखने पर 7वाँ और 8वाँ मान दोनों 10 हैं। अतः माध्यिका भी 10 है।
विज्ञान के 14 वाक्यों में कुल 224 शब्द थे। माध्य = 224 ÷ 14 = 16 शब्द प्रति वाक्य। क्रम में 7वाँ और 8वाँ मान दोनों 16 हैं, इसलिए माध्यिका भी 16 है।
इन दो पेजों पर विज्ञान के एक वाक्य में हिंदी की तुलना में औसतन 16 − 10 = 6 शब्द अधिक थे।
12. व्यक्तिगत परियोजना (दीर्घकालीन) — इस परियोजना के लिए 2 सप्ताह या उससे अधिक समय तक आँकड़ों को एकत्रित करने की आवश्यकता है।
भीतर और बाहर — ध्यान दीजिए कि आप एक दिन में कितनी बार अपने घर से बाहर निकलते हैं। ऐसा एक माह तक कीजिए।
(i) इस आँकड़े की भिन्नता और केंद्रीय प्रवृत्ति की व्याख्या कीजिए। एक बिंदु आलेख बनाइए।
(ii) क्या आपको इस आँकड़े में कुछ रोचक लगा? अपने प्रेक्षणों को साझा कीजिए।
(iii) आप अपने परिवार के किसी सदस्य या मित्र से भी ऐसा करने के लिए कह सकते हैं।
उत्तर:
मैंने 30 दिन तक हर शाम लिखा कि उस दिन मैं कितनी बार घर से बाहर निकला। दिन के क्रम में मेरी गिनती इस प्रकार थी—
पहले 10 दिन— 3, 3, 0, 2, 3, 5, 1, 4, 2, 5।
अगले 10 दिन— 6, 3, 3, 1, 3, 6, 1, 5, 3, 4।
अंतिम 10 दिन— 2, 4, 3, 4, 2, 2, 3, 2, 3, 2।
(i) एक दिन में सबसे कम 0 बार और सबसे अधिक 6 बार बाहर निकला। इसलिए प्रसार = 6 − 0 = 6 बार।
मैं महीने में कुल 90 बार बाहर निकला। माध्य = 90 ÷ 30 = 3 बार प्रतिदिन। आँकड़े क्रम में रखने पर 15वाँ और 16वाँ मान दोनों 3 हैं। इसलिए माध्यिका भी 3 है। आलेख में हर बिंदु एक दिन दिखाता है।
(ii) मुझे यह रोचक लगा कि औसत 3 बार था और ठीक 3 बार बाहर निकलने वाले दिन भी सबसे अधिक थे— ऐसे 10 दिन थे। एक दिन मैं बिल्कुल बाहर नहीं निकला, जबकि दो दिन मैं 6-6 बार बाहर निकला।
(iii) मैंने अपनी बहन से भी एक महीने तक इसी तरह गिनती रखने को कहा, ताकि हम बाद में अपने आलेखों की तुलना कर सकें।
13. छोटे समूह की परियोजना — निम्नलिखित में से कम से कम एक का चयन कीजिए। 8 से 10 लोगों के समूह बनाइए। आवश्यकतानुसार अलग-अलग आँकड़े एकत्र कीजिए। सभी लोगों के आँकड़ों को एक साथ रखिए और उपयुक्त विश्लेषण और दृश्यांकन कीजिए।
(a) हमारे परिवार की ऊँचाई की तुलना में हमारी ऊँचाई — अपने परिवार के सदस्यों की ऊँचाई एकत्र कीजिए।
(i) केवल अपने परिवार के सदस्यों की ऊँचाई दिखाते हुए एक बिंदु आलेख बनाइए। इसकी भिन्नता और केंद्रीय प्रवृत्ति की व्याख्या कीजिए।
(ii) प्रत्येक विद्यार्थी की ऊँचाई को उसके परिवार की माध्य ऊँचाई के साथ दिखाते हुए एक द्वि-दंड आलेख बनाइए।
(iii) सभी के आँकड़ों को देखिए और अपने प्रेक्षणों को साझा कीजिए।
(b) समय का अनुमान लगाना — समय देखिए और अपनी आँखें बंद कर लीजिए। बिना गिनती किए जब आपको लगे कि 1 मिनट बीत गया है तो आँखें खोलिए। लिखिए कि आपने कितने सेकंड बाद अपनी आँखें खोलीं। अपने और अपने परिवार के सदस्यों के इन आँकड़ों को एकत्रित कीजिए। 3 मिनट का अनुमान लगाने के लिए इस क्रियाकलाप को दोहराइए।
(i) केवल अपने परिवार के सदस्यों का अनुमान दर्शाते हुए दो बिंदु आलेख (1 मिनट और 3 मिनट के लिए) बनाइए।
(ii) इन्हें संबंधित बिंदु आरेख पर चिह्नित कीजिए। इसकी भिन्नता और केंद्रीय प्रवृत्ति की व्याख्या कीजिए।
(iii) प्रत्येक परिवार का 1 मिनट का औसत अनुमान और 3 मिनट का औसत अनुमान दर्शाते हुए एक द्वि-दंड आलेख बनाइए।
(iv) सभी के आँकड़ों को देखिए और अपने प्रेक्षणों को साझा कीजिए।
उत्तर:
हम आठ विद्यार्थियों ने विकल्प (a) चुना। हममें से हर किसी ने अपने परिवार के चार सदस्यों की ऊँचाई सेंटीमीटर में लिखी। इन चार सदस्यों में वह विद्यार्थी भी शामिल है।
(i) मेरे परिवार में चारों की ऊँचाइयाँ 150, 158, 164 और 168 सेमी हैं। इनका प्रसार = 168 − 150 = 18 सेमी।
माध्य = (150 + 158 + 164 + 168) ÷ 4 = 640 ÷ 4 = 160 सेमी।
बीच की दो ऊँचाइयाँ 158 और 164 सेमी हैं। माध्यिका = (158 + 164) ÷ 2 = 161 सेमी। आलेख में हर बिंदु मेरे परिवार के एक सदस्य को दिखाता है।
(ii) हमने हर परिवार की चारों ऊँचाइयाँ जोड़कर योग को 4 से भाग दिया। जैसे, आरव के परिवार की माध्य ऊँचाई = (154 + 125 + 156 + 169) ÷ 4 = 604 ÷ 4 = 151 सेमी। हर विद्यार्थी के लिए पहला दंड उसकी अपनी ऊँचाई और दूसरा उसके परिवार की माध्य ऊँचाई दिखाता है।
(iii) आठ में से छह विद्यार्थियों की ऊँचाई उनके परिवार की माध्य ऊँचाई से कम है। आरव की ऊँचाई अपने परिवार के माध्य से 3 सेमी अधिक है। सोनल की ऊँचाई और उसके परिवार की माध्य ऊँचाई दोनों 153 सेमी हैं।
माध्य और माध्यिका के प्रश्नों में सावधानी
माध्य निकालने के लिए सभी मानों का योग करके उसे मानों की संख्या से भाग दें, जबकि माध्यिका के लिए पहले आँकड़ों को आरोही या अवरोही क्रम में लगाना आवश्यक है — इस चरण को छोड़ देना सबसे आम भूल है। मानों की संख्या सम होने पर बीच की दोनों संख्याओं का औसत माध्यिका होता है। आलेख बनाते समय उपयुक्त पैमाना चुनें और शीर्षक तथा अक्षों के नाम अवश्य लिखें।
यह अध्याय कक्षा 6 के ‘आँकड़ों का प्रबंधन और प्रस्तुतिकरण’ को आगे बढ़ाता है। अपने घर या विद्यालय से जुड़े छोटे आँकड़े, जैसे सप्ताह भर की नींद के घंटे, इकट्ठा करके उनका माध्य और माध्यिका निकालना अच्छा अभ्यास है। सभी अध्यायों के प्रश्न-उत्तर कक्षा 7 गणित एनसीईआरटी समाधान पृष्ठ पर क्रम से दिए गए हैं।
