एनसीईआरटी समाधान कक्षा 7 गणित प्रकाश भाग 2 अध्याय 4 दशमलव से परे एक और दृष्टि
कक्षा 7 गणित भाग 2 अध्याय 4 ‘दशमलव से परे एक और दृष्टि’ के एनसीईआरटी समाधान – अभ्यास के प्रश्नों के हल हिंदी माध्यम तथा सरल भाषा में सत्र 2026-27 के लिए यहाँ दिए गए हैं। भाग 1 के अध्याय 3 को आगे बढ़ाते हुए यह अध्याय दशमलव संख्याओं का गुणा और भाग सिखाता है।
एनसीईआरटी कक्षा 7 गणित प्रकाश भाग 2 अध्याय 4 समाधान
कक्षा 7 गणित अध्याय 4 के प्रश्न-उत्तर यहाँ दिए गए हैं। इसमें गुणनफल में दशमलव बिंदु का सही स्थान तय करना, दीर्घ विभाजन से दशमलवों का भाग और ऐसे भाग भी सम्मिलित हैं जिनका भागफल कभी समाप्त नहीं होता। ‘पता लगाइए’ के प्रश्नों के हल सत्र 2026-27 के अनुसार चरणबद्ध हैं।
कक्षा 7 गणित प्रकाश भाग 2 के पेज 73 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:
पेज 73 – पता लगाइए
1. स्मरण कीजिए कि दसवाँ भाग (दशांश) 0.1 होता है, सौवाँ भाग (शतांश) 0.01 होता है और इसी प्रकार आगे भी। निम्नलिखित गुणनफलों को दसवें भाग, सौवें भाग इत्यादि में ज्ञात कीजिए।
(a) 6 × 4 दशांश = 24 दशांश
(b) 7 × 0.3
(c) 9 × 5 शतांश
उत्तर:
(a) 4 दशांश को 6 बार लेने पर 6 × 4 = 24 दशांश मिलते हैं। 24 दशांश = 24/10 = 2.4।
(b) 0.3 का अर्थ 3 दशांश है। इसलिए 7 × 0.3 = 21 दशांश = 2.1।
(c) 9 × 5 शतांश = 45 शतांश। चूँकि 1 शतांश = 1/100 है, इसलिए 45 शतांश = 45/100 = 0.45।
2. गुणनफल ज्ञात कीजिए-
(a) 27.34 × 6
(b) 4.23 × 3.7
(c) 0.432 × 0.23
उत्तर:
पहले दशमलव बिंदु हटाकर गुणा करते हैं। फिर दोनों संख्याओं में दशमलव बिंदु के बाद जितने अंक कुल मिलाकर हैं, गुणनफल में दाईं ओर से उतने अंक छोड़कर दशमलव बिंदु लगाते हैं।
(a) 2734 × 6 = 16404। दो अंक छोड़ने पर 27.34 × 6 = 164.04।
(b) 423 × 37 = 15651। यहाँ कुल 2 + 1 = 3 दशमलव स्थान हैं। इसलिए 4.23 × 3.7 = 15.651।
(c) 432 × 23 = 9936। यहाँ कुल 3 + 2 = 5 दशमलव स्थान हैं। पाँच स्थान पूरे करने के लिए 9936 के आगे एक शून्य रखते हैं। अतः 0.432 × 0.23 = 0.09936।
3. तेजस को एक कमीज के लिए 1.65 m कपड़े की आवश्यकता है। उसे 3 कमीजों के लिए कितने मीटर कपड़े की आवश्यकता होगी?
उत्तर:
एक कमीज के लिए 1.65 मीटर कपड़ा चाहिए। तीन कमीजों के लिए इसी मात्रा को 3 बार लेंगे।
कुल कपड़ा = 1.65 × 3 = 4.95 मीटर। अतः तेजस को 4.95 मीटर कपड़ा चाहिए।
4. मीनू ने 4 अभ्यास पुस्तिकाएँ और 3 मार्जक (इरेजर) क्रय किए। प्रत्येक अभ्यास पुस्तिका का मूल्य ₹15.50 और प्रत्येक मार्जक का मूल्य ₹2.75 था। उसने कुल कितना व्यय किया?
उत्तर:
4 अभ्यास पुस्तिकाओं का मूल्य = 4 × ₹15.50 = ₹62.00।
3 मार्जकों का मूल्य = 3 × ₹2.75 = ₹8.25।
इसलिए मीनू का कुल व्यय = ₹62.00 + ₹8.25 = ₹70.25।
5. एक रुपये के सिक्के की मोटाई 1.45 mm है। एक रुपये के 36 सिक्कों को एक के ऊपर एक रखकर बनाए गए बेलन के आकार की कुल ऊँचाई कितनी होगी? उत्तर सेंटीमीटर में लिखिए।
उत्तर:
सिक्कों को एक के ऊपर एक रखने पर उनकी मोटाइयाँ जुड़ जाएँगी।
36 सिक्कों की कुल ऊँचाई = 36 × 1.45 = 52.20 मिलीमीटर।
10 मिलीमीटर = 1 सेंटीमीटर, इसलिए सेंटीमीटर में ऊँचाई = 52.20 ÷ 10 = 5.22 सेंटीमीटर।
6. 1 kg संतरे का मूल्य ₹56.50 है। 2.250 kg संतरों का मूल्य क्या होगा? क्या हम 56.50 को 56.5 और 2.250 को 2.25 लिखकर गुणा कर सकते हैं? क्या हमें समान गुणनफल प्राप्त होगा? क्यों?
उत्तर:
हाँ। दशमलव के बाद सबसे दाईं ओर लगा शून्य हटाने से संख्या का मान नहीं बदलता।
इसलिए 56.50 = 56.5 और 2.250 = 2.25 है।
अब 565 × 225 = 127125। दोनों संख्याओं में कुल 1 + 2 = 3 दशमलव स्थान हैं।
अतः 2.250 किलोग्राम संतरों का मूल्य = ₹56.5 × 2.25 = ₹127.125।
यदि अंत के शून्य भी लेकर गुणा करें तो 56.50 × 2.250 = 127.12500, जिसका मान भी 127.125 ही है।
7. द्वारकानाथ ₹23.6 प्रति अभ्यास पुस्तिका के थोक मूल्य पर अभ्यास पुस्तिकाएँ क्रय करता है और प्रत्येक अभ्यास पुस्तिका ₹30 में विक्रय करता है। यदि वह एक सप्ताह में 50 अभ्यास पुस्तिकाएँ विक्रय करता है तो उसे कितना लाभ होगा?
उत्तर:
एक अभ्यास पुस्तिका पर लाभ = विक्रय मूल्य − क्रय मूल्य = ₹30.00 − ₹23.60 = ₹6.40।
अतः 50 अभ्यास पुस्तिकाओं पर लाभ = 50 × ₹6.40 = ₹320।
8. दिया गया है कि 18 × 12 = 216, निम्नलिखित के गुणनफल ज्ञात कीजिए-
(a) 1.8 × 1.2
(b) 18 × 0.12
(c) 1.8 × 1.2
(d) 0.18 × 0.12
(e) 0.018 × 0.012
(f) 1.8 × 12
उपरोक्त में से किस स्थिति में गुणनफल 1 से कम है?
उत्तर:
इन सभी भागों में 18 × 12 = 216 का उपयोग करेंगे। अंतर केवल दशमलव बिंदु की जगह का है।
(a) कुल 1 + 1 = 2 दशमलव स्थान हैं। इसलिए 1.8 × 1.2 = 2.16।
(b) कुल 0 + 2 = 2 दशमलव स्थान हैं। इसलिए 18 × 0.12 = 2.16।
(c) यह गुणन (a) जैसा ही है। इसलिए 1.8 × 1.2 = 2.16।
(d) कुल 2 + 2 = 4 दशमलव स्थान हैं। इसलिए 0.18 × 0.12 = 0.0216।
(e) कुल 3 + 3 = 6 दशमलव स्थान हैं। इसलिए 0.018 × 0.012 = 0.000216।
(f) केवल 1 दशमलव स्थान है। इसलिए 1.8 × 12 = 21.6।
इस प्रकार (d) और (e) में गुणनफल 1 से कम है।
9. निम्नलिखित में से किस गुणन का गुणनफल 1 से कम है? क्या आप बिना गुणन किए उत्तर ज्ञात कर सकते हैं?
(a) 7 × 0.6
(b) 0.7 × 0.6
(c) 0.7 × 6
(d) 0.07 × 0.06
उत्तर:
हाँ। (b) और (d) में दोनों संख्याएँ 0 और 1 के बीच हैं। ऐसी दो संख्याओं का गुणनफल दोनों से छोटा होता है। इसलिए इन दोनों भागों में गुणनफल 1 से कम है।
(a) में 0.6 सात बार और (c) में 0.7 छह बार लिया गया है। 0.6 और 0.7 दोनों आधे से बड़े हैं। इनमें से किसी को दो बार लेने पर ही 1 से अधिक मिल जाता है। इसलिए (a) और (c) में गुणनफल 1 से बड़ा है।
10. निम्नलिखित संख्याओं को 10, 100 और 1000 से गुणा करके तालिका को पूरा कीजिए-
उत्तर:
10, 100 और 1000 से गुणा करने पर दशमलव बिंदु क्रमशः एक, दो और तीन स्थान दाईं ओर खिसकता है। जैसे, 0.306 को 10 से गुणा करने पर 3.06, 100 से गुणा करने पर 30.6 और 1000 से गुणा करने पर 306 मिलता है। इसी तरह बाकी पंक्तियाँ भरते हैं।
कक्षा 7 गणित प्रकाश भाग 2 के पेज 83 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:
पेज 83 – पता लगाइए
1. हर को 1, 10, 100 या 1000 में परिवर्तित कर भागफल ज्ञात कीजिए और दीर्घ विभाजन विधि (स्थानीय मान से भाग) द्वारा उत्तर की पुष्टि कीजिए।
(a) 18/5
(b) 415/4
(c) 1217/2
(d) 4827/8
उत्तर:
अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा करने पर भिन्न का मान नहीं बदलता। इसका उपयोग करके पहले हर को 10, 100 या 1000 बनाते हैं।
(a) 18/5 = (18 × 2)/(5 × 2) = 36/10 = 3.6।
भाग से जाँच करने पर 18 ÷ 5 में 3 इकाई मिलती हैं और 3 इकाई बचती हैं। ये 30 दशांश हैं। 30 ÷ 5 = 6, इसलिए भागफल 3.6 है।
(b) 415/4 = (415 × 25)/(4 × 25) = 10375/100 = 103.75।
भाग से जाँच करने पर 4 सैकड़ों से हर भाग में 1 सैकड़ा मिलता है। 1 दहाई को 4 भागों में पूरी दहाइयों में नहीं बाँट सकते, इसलिए भागफल में दहाई का अंक 0 होगा। 1 दहाई और 5 इकाई मिलाकर 15 इकाई हुईं। 15 ÷ 4 में 3 इकाई मिलती हैं और 3 बचती हैं। इन 3 इकाइयों के 30 दशांश बाँटने पर 7 दशांश और 2 दशांश शेष मिलते हैं। बचे हुए 20 शतांश बाँटने पर 5 शतांश मिलते हैं। भागफल 103.75 है।
(c) 1217/2 = (1217 × 5)/(2 × 5) = 6085/10 = 608.5।
भाग से जाँच करने पर 12 सैकड़ों को 2 से बाँटने पर 6 सैकड़े मिलते हैं। दहाई के स्थान पर 1 है, इसलिए भागफल में 0 दहाई लिखते हैं। इस दहाई को 7 इकाइयों से मिलाकर 17 इकाई होती हैं। 17 ÷ 2 में 8 इकाई और 1 इकाई शेष मिलती है। शेष 10 दशांश बाँटने पर 5 दशांश मिलते हैं। भागफल 608.5 है।
(d) 4827/8 = (4827 × 125)/(8 × 125) = 603375/1000 = 603.375।
भाग से जाँच करने पर 48 सैकड़ों को 8 से बाँटने पर 6 सैकड़े मिलते हैं। 2 दहाइयाँ 8 से कम हैं, इसलिए भागफल में 0 दहाई लिखते हैं। 2 दहाइयों और 7 इकाइयों से बनी 27 इकाइयों को बाँटने पर 3 इकाई और 3 इकाई शेष मिलती हैं। अब 30 दशांश बाँटने पर 3 दशांश और 6 शेष, फिर 60 शतांश बाँटने पर 7 शतांश और 4 शेष मिलते हैं। अंत में 40 सहस्रांश बाँटने पर 5 सहस्रांश मिलते हैं। अतः भागफल 603.375 है।
2. सही उत्तर का चयन कीजिए-
(a) 1526/4 =
(i) 38.15 (ii) 380.15
(iii) 381.5 (iv) 381.05
(b) 3567/8 =
(i) 4458.75 (ii) 44.5875
(iii) 445.875 (iv) 4458.75
उत्तर:
(a) 4 × 381 = 1524। शेष 2 है और 2/4 = 0.5 है। इसलिए 1526 ÷ 4 = 381 + 0.5 = 381.5। सही विकल्प (iii) है।
(b) 8 × 445 = 3560। शेष 7 है और 7/8 = 875/1000 = 0.875 है। इसलिए 3567 ÷ 8 = 445 + 0.875 = 445.875।
सही विकल्प (iii) है।
3. भागफल क्या है?
(a) 132 ÷ 4 =
(b) 13.2 ÷ 4 =
(c) 1.32 ÷ 4 =
(d) 0.132 ÷ 4 =
उत्तर:
(a) 132 ÷ 4 = 33, क्योंकि 4 × 33 = 132।
हर अगले भाग में भाज्य पिछले भाज्य का दसवाँ भाग है और भाजक 4 ही है। इसलिए भागफल भी हर बार दसवाँ भाग होगा।
(b) 13.2 ÷ 4 = 3.3
(c) 1.32 ÷ 4 = 0.33
(d) 0.132 ÷ 4 = 0.033
4. भागफल क्या है?
(a) 126 ÷ 8 =
(b) 12.6 ÷ 8 =
(c) 1.26 ÷ 8 =
(d) 0.126 ÷ 8 =
(e) 0.0126 ÷ 8 =
उत्तर:
(a) 126 = 8 × 15 + 6। चूँकि 6/8 = 3/4 = 0.75 है, इसलिए 126 ÷ 8 = 15.75।
हर अगले भाग में भाज्य पिछले भाज्य का दसवाँ भाग है और भाजक वही है। इसलिए भागफल का दशमलव बिंदु भी हर बार एक स्थान बाईं ओर जाएगा।
(b) 12.6 ÷ 8 = 1.575
(c) 1.26 ÷ 8 = 0.1575
(d) 0.126 ÷ 8 = 0.01575
(e) 0.0126 ÷ 8 = 0.001575
कक्षा 7 गणित प्रकाश भाग 2 के पेज 86 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:
पेज 86 – पता लगाइए
1. निम्नलिखित भिन्नों को दशमलव रूप में व्यक्त कीजिए-
(a) 2/5
(b) 13/4
(c) 4/50
(d) 5/8
उत्तर:
समतुल्य भिन्न बनाकर हर को 10, 100 या 1000 में बदलते हैं।
(a) 2/5 = (2 × 2)/(5 × 2) = 4/10 = 0.4
(b) 13/4 = (13 × 25)/(4 × 25) = 325/100 = 3.25
(c) 4/50 = (4 × 2)/(50 × 2) = 8/100 = 0.08
(d) 5/8 = (5 × 125)/(8 × 125) = 625/1000 = 0.625
2. भागफल ज्ञात कीजिए-
(a) 24.86 ÷ 1.2
(b) 5.728 ÷ 1.52
उत्तर:
भाज्य और भाजक को एक ही संख्या से गुणा करने पर भागफल नहीं बदलता। इसलिए भाजक को पूर्ण संख्या बनाकर भाग दे सकते हैं।
(a) 24.86 ÷ 1.2 = 248.6 ÷ 12।
यहाँ 12 × 20 = 240 और शेष 8.6 है।
अतः भागफल = 20 + 8.6/12 = 20 + 43/60 = 20.71666…।
दशमलव में 6 बार-बार आता है।
(b) 5.728 ÷ 1.52 = 572.8 ÷ 152 = 5728/1520 = 358/95। अब 358 ÷ 95 में 3 मिलते हैं और शेष 73 है।
730 को 95 से बाँटने पर 7 दशांश और 65 शेष मिलते हैं।
आगे भाग देने पर भागफल 3.7684210526… मिलता है।
इसका ठीक मान 358/95 है।
3. 156 × 12 = 1872 परिणाम का प्रयोग कर निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए।
(a) 15.6 × 1.2 = ________
(b) 187.2 ÷ 1.2 = ________
(c) 18.72 ÷ 15.6 = ________
(d) 0.156 × 0.12 = ________
उत्तर:
(a) 15.6 = 156/10 और 1.2 = 12/10 हैं। इसलिए 15.6 × 1.2 = 1872/100 = 18.72।
(b) 187.2 ÷ 1.2 = 1872 ÷ 12 = 156।
(c) भाग (a) से 15.6 × 1.2 = 18.72 है, इसलिए 18.72 ÷ 15.6 = 1.2।
(d) 0.156 × 0.12 = (156/1000) × (12/100) = 1872/100000 = 0.01872।
4. निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए-
(a) 25 ÷ ______ = 0.025
(b) 25 ÷ ______ = 250
(c) 25 ÷ ______ = 2.5
(d) 25 ÷ 10 = 25 × ______
(e) 25 ÷ 0.10 = 25 × ______
(f) 25 ÷ 0.01 = 25 × ______
उत्तर:
(a) 25 को 1000 से भाग देने पर 0.025 मिलता है। खाली स्थान में 1000 आएगा।
(b) 250, 25 का 10 गुना है। 0.1 से भाग देना 10 से गुणा करने के बराबर है। इसलिए 25 ÷ 0.1 = 250।
(c) 25 ÷ 10 = 2.5। खाली स्थान में 10 आएगा।
किसी धनात्मक संख्या से भाग देना उसके व्युत्क्रम से गुणा करने के बराबर है। इसका उपयोग करने पर—
(d) 25 ÷ 10 = 25 × 0.1
(e) 25 ÷ 0.10 = 25 × 10
(f) 25 ÷ 0.01 = 25 × 100
5. भागफल ज्ञात कीजिए-
(a) 2.46 ÷ 1.5 =
(b) 2.46 ÷ 0.15 =
(c) 2.46 ÷ 0.015 =
क्या 24.6 ÷ 1.5 में प्राप्त भागफल 2.46 ÷ 0.15 में प्राप्त भागफल के समान है?
उत्तर:
(a) 2.46 ÷ 1.5 = 24.6 ÷ 15 = 1.64।
(b) 2.46 ÷ 0.15 = 246 ÷ 15 = 16.4।
(c) 2.46 ÷ 0.015 = 2460 ÷ 15 = 164।
हाँ, 2.46 ÷ 0.15 में भाज्य और भाजक दोनों को 10 से गुणा करने पर 24.6 ÷ 1.5 मिलता है। इसलिए दोनों भागफलों का मान 16.4 है।
6. एक 4 m लंबे लकड़ी के गुटके को समान लंबाई के 5 टुकड़ों में काटना है। प्रत्येक टुकड़े की लंबाई क्या है?
उत्तर:
सभी टुकड़े बराबर लंबे हैं। एक टुकड़े की लंबाई = 4 ÷ 5 मीटर = 8/10 मीटर = 0.8 मीटर, यानी 80 सेंटीमीटर।
7. यदि 12 भुजाओं वाले समबहुभुज का परिमाप 208.8 cm है तो इसकी भुजा की लंबाई क्या है?
उत्तर:
समबहुभुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। इसलिए एक भुजा की लंबाई = परिमाप ÷ भुजाओं की संख्या = 208.8 ÷ 12 = 17.4 सेंटीमीटर।
8. 3 l तरबूज का रस 8 मित्रों में समान रूप से बाँटा गया है। प्रत्येक को कितना तरबूज का रस मिलेगा? रस की मात्रा मिलीलीटर में लिखिए।
उत्तर:
1 लीटर = 1000 मिलीलीटर, इसलिए 3 लीटर = 3000 मिलीलीटर।
इसे आठ बराबर भागों में बाँटने पर प्रत्येक मित्र को 3000 ÷ 8 = 375 मिलीलीटर रस मिलेगा।
9. एक कार 12.6 l पेट्रोल में 234.45 km की दूरी तय करती है। प्रति लीटर पेट्रोल में तय की गई दूरी कितनी है?
उत्तर:
1 लीटर में तय दूरी = कुल दूरी ÷ पेट्रोल की मात्रा।
234.45 ÷ 12.6 = 23445/1260 = 521/28 = 18 + 17/28।
अतः कार प्रति लीटर 521/28 किलोमीटर चलती है।
दशमलव में यह दूरी 18.607142857… किलोमीटर, यानी लगभग 18.61 किलोमीटर है।
10. 13.5 kg आटा 15 विद्यार्थियों में समान रूप से बाँटा गया। प्रत्येक विद्यार्थी को कितना आटा मिला?
उत्तर:
हर विद्यार्थी का हिस्सा = 13.5 ÷ 15 किलोग्राम। 13.5 किलोग्राम में 135 दशांश हैं। 135 ÷ 15 = 9, इसलिए प्रत्येक विद्यार्थी को 9 दशांश किलोग्राम, यानी 0.9 किलोग्राम (900 ग्राम) आटा मिला।
गणित चर्चा
आप क्या प्रतिरूप देखते हैं? 2 और 5 इस प्रकार से क्यों संबंधित हैं?
उत्तर:
बाईं ओर हर को हर बार 2 से गुणा किया जाता है, इसलिए भिन्न का मान पिछली बार का आधा हो जाता है।
अगला मान 0.0625 ÷ 2 = 0.03125 है। दाईं ओर हर बार हर को 5 से गुणा किया जाता है।
इसलिए अगला मान 0.0016 ÷ 5 = 0.00032 है।
2 और 5 का गुणनफल 10 है। जैसे, 1/(2 × 2) को 5 × 5 से ऊपर और नीचे गुणा करने पर 25/100 = 0.25 मिलता है।
उसी तरह 1/(5 × 5) को 2 × 2 से ऊपर और नीचे गुणा करने पर 4/100 = 0.04 मिलता है।
हर अगले चरण में भी 2 और 5 की जोड़ियाँ बनाकर हर को 10, 100, 1000 आदि बनाया जा सकता है।
कक्षा 7 गणित प्रकाश भाग 2 के पेज 93 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:
पेज 93 – पता लगाइए
1. मूँगफली चिक्की के 210 ग्राम पैकेट का मूल्य ₹70.5 है, जबकि आलू चिप्स के 110 ग्राम पैकेट का मूल्य ₹33.25 है। कौन-सा पैकेट सस्ता है?
उत्तर:
दोनों पैकेटों का भार अलग है। तुलना करने के लिए मैंने आलू चिप्स के दो पैकेट लिए। इनका भार 2 × 110 = 220 ग्राम और मूल्य 2 × ₹33.25 = ₹66.50 है।
चिक्की के 210 ग्राम का मूल्य ₹70.50 है। आलू चिप्स 10 ग्राम अधिक मिलने पर भी ₹4 कम देने पड़ते हैं। इसलिए भार के हिसाब से आलू चिप्स का पैकेट सस्ता है।
2. तीर के चिह्न पर दशमलव संख्या लिखिए।
उत्तर:
पहली संख्या रेखा पर 3.1 से 3.2 तक 10 बराबर अंतर हैं।
एक अंतर = (3.2 − 3.1) ÷ 10 = 0.01। तीर 3.1 से छह अंतर आगे है।
इसलिए पहली संख्या 3.1 + 6 × 0.01 = 3.16 है।
दूसरी संख्या रेखा पर भी 10 बराबर अंतर हैं, पर यहाँ एक अंतर = (2.17 − 2.15) ÷ 10 = 0.002।
तीर 2.15 से छह अंतर आगे है।
इसलिए दूसरी संख्या 2.15 + 6 × 0.002 = 2.162 है।
3. श्यामला ने ₹30 प्रति kg की दर से 3 kg केले क्रय किए। उसने कुल 35 केले गिने। उसने प्रत्येक केला ₹5 में विक्रय किया। सभी केले विक्रय करके उसे कितना लाभ हुआ?
उत्तर:
3 किलोग्राम केले खरीदने में 3 × ₹30 = ₹90 लगे।
35 केले बेचने पर 35 × ₹5 = ₹175 मिले।
बिक्री से मिली रकम में से खरीद की रकम घटाने पर लाभ = ₹175 − ₹90 = ₹85।
अतः श्यामला को ₹85 का लाभ हुआ।
4. एक शिक्षक ने पुस्तकों की अलमारी पर 2.5 cm मोटी पाठ्यपुस्तकें रखीं। शिक्षक उस अलमारी पर 80 पाठ्यपुस्तकें रखना चाहते थे। अलमारी 160 cm लंबी है। अलमारी पर कितनी पाठ्यपुस्तकें रखी जा सकती हैं? क्या कोई स्थान शेष था? यदि हाँ, तो कितना?
उत्तर:
एक पुस्तक 2.5 सेमी जगह लेती है।
इसलिए रखी जा सकने वाली पुस्तकों की संख्या = 160 ÷ 2.5 = 1600 ÷ 25 = 64।
64 पुस्तकों की कुल मोटाई 64 × 2.5 = 160 सेमी है।
इसलिए 64 पुस्तकें रखने पर 0 सेमी जगह बचेगी।
सभी 80 पुस्तकें इस अलमारी पर नहीं रखी जा सकतीं।
5. निम्नलिखित रिक्त स्थानों को उचित रूप से भरिए-
उत्तर:
छोटी इकाई से बड़ी इकाई में बदलते समय भाग देते हैं। जैसे, 1 मीटर में 100 सेंटीमीटर होते हैं, इसलिए 5.5 सेमी = (5.5 ÷ 100) मीटर = 0.055 मीटर।
बड़ी इकाई से छोटी इकाई में बदलते समय गुणा करते हैं। जैसे, 1 मीटर में 1000 मिलीमीटर होते हैं, इसलिए 9.02 मीटर = 9.02 × 1000 = 9020 मिलीमीटर।
6. श्रीधराचार्य ने अपनी पुस्तक पाटीगणित में यह समस्या दी “6 ¼ को 2 ½ से विभाजित किया जाता है और 60 ¼ को 3 ½ से विभाजित किया जाता है। भागफलों को पृथक रूप में बताइए।” क्या आप भिन्नों को दशमलव में परिवर्तित कर इसे हल करने का प्रयास कर सकते हैं?
उत्तर:
¼ = 0.25 और ½ = 0.5 होते हैं।
पहला भागफल = 6.25 ÷ 2.5 = 62.5 ÷ 25 = 2.5।
दूसरा भागफल = 60.25 ÷ 3.5 = 6025 ÷ 350 = 241 ÷ 14।
अब 241 = 14 × 17 + 3 है।
इसलिए ठीक भागफल 17 + 3/14 है।
दशमलव में यह 17.214285714… है।
7. बक्सों को कम से कम 2 भिन्न प्रकार से भरिए-
(a) □ × □ = 2.4
(b) □ × □ = 14.5
उत्तर:
(a) 1.2 × 2 = 2.4 और 0.6 × 4 = 2.4।
(b) 2.9 × 5 = 14.5 और 1.45 × 10 = 14.5।
8. दिया गया है कि 756 ÷ 36 = 21, निम्नलिखित भागफल ज्ञात कीजिए।
(a) 75.6 ÷ 3.6
(b) 7.56 ÷ 0.36
(c) 756 ÷ 0.36
(d) 75.6 ÷ 360
(e) 7560 ÷ 3.6
(f) 7.56 ÷ 0.36
उत्तर:
भाज्य और भाजक को एक ही संख्या से गुणा करने या भाग देने पर भागफल नहीं बदलता।
(a) 75.6 ÷ 3.6 = 756 ÷ 36 = 21।
(b) 7.56 ÷ 0.36 = 756 ÷ 36 = 21।
(c) 0.36, 36 का सौवाँ भाग है।
उसी 756 को इतने छोटे भाजक से बाँटने पर भागफल 100 गुना होगा।
अतः 756 ÷ 0.36 = 21 × 100 = 2100।
(d) 756 ÷ 36 की तुलना में भाज्य दसवाँ भाग है और भाजक 10 गुना है।
इसलिए 75.6 ÷ 360 = 21 ÷ 100 = 0.21।
(e) यहाँ भाज्य 10 गुना और भाजक दसवाँ भाग है।
इसलिए 7560 ÷ 3.6 = 21 × 100 = 2100।
(f) 7.56 ÷ 0.36 = 756 ÷ 36 = 21।
9. यदि प्रत्येक कोष्ठक a ÷ b को दर्शाता है तो रिक्त कोष्ठकों के मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
हर कोष्ठक में ऊपर लिखी संख्या a को बाईं ओर लिखी संख्या b से भाग देना है।
जैसे, 1517 ÷ 37 = 41।
इसी पंक्ति में भाज्य 10 गुना छोटा करने पर 151.7 ÷ 37 = 4.1 होगा।
अब पहले स्तंभ में भाजक 37 से 3.7 करने पर भागफल 10 गुना हो जाता है।
इसलिए 1517 ÷ 3.7 = 410। इसी तरह बाकी कोष्ठक भरते हैं।
10. अंकों 2, 4, 5, 8 और 0 का उपयोग करके बक्सों □□.□ × □.□ को भरिए, जिससे प्राप्त हो-
(a) अधिकतम गुणनफल
(b) न्यूनतम गुणनफल
(c) 150 से अधिक गुणनफल
(d) 100 के निकटतम गुणनफल
(e) 5 के निकटतम गुणनफल
उत्तर:
मैंने हर व्यवस्था में पाँचों अंक एक-एक बार रखे। दूसरी संख्या तय करने के बाद पहली संख्या को सबसे बड़ा बनाने के लिए बचे अंक बड़े से छोटे क्रम में रखे। सबसे छोटा बनाने के लिए बचे अंक छोटे से बड़े क्रम में रखे। इस तरह गुणनफलों की तुलना की।
(a) 82.0 × 5.4 = 442.8।
यह अधिकतम गुणनफल है। 54.0 × 8.2 से भी 442.8 मिलता है।
(b) 45.8 × 0.2 = 9.16।
यह न्यूनतम गुणनफल है।
(c) 28.0 × 5.4 = 151.2, जो 150 से अधिक है।
(d) 100 के पास दो गुणनफल 20.5 × 4.8 = 98.4 और 40.8 × 2.5 = 102 हैं।
पहले का अंतर 100 − 98.4 = 1.6 है और दूसरे का 102 − 100 = 2 है।
100 का निकटतम गुणनफल 98.4 है।
(e) सबसे छोटा गुणनफल 9.16 भी 5 से बड़ा है।
इसलिए 5 के सबसे पास 45.8 × 0.2 = 9.16 ही होगा।
11. निम्नलिखित व्यंजकों को आरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए-
(a) 245.05 × 0.942368
(b) 245.05 × 7.9682
(c) 245.05 ÷ 7.9682
(d) 245.05 ÷ 0.942368
(e) 245.05
(f) 7.9682
उत्तर:
आरोही क्रम में सबसे छोटा मान पहले लिखते हैं।
(a) में 1 से छोटी संख्या से गुणा किया है, इसलिए मान 245.05 से कम है।
इसके विपरीत (d) में उसी संख्या से भाग दिया है, इसलिए मान 245.05 से अधिक है।
मानों को दो दशमलव स्थान तक लेने पर बढ़ता क्रम 7.97 < 30.75 < 230.93 < 245.05 < 260.04 < 1952.61 है।
अतः व्यंजकों का आरोही क्रम (f), (c), (a), (e), (d), (b) है।
दशमलवों के गुणा-भाग में दशमलव बिंदु का ध्यान
दशमलवों का गुणा करते समय पहले संख्याओं को दशमलव बिंदु हटाकर गुणा करें, फिर गुणक और गुण्य के दशमलव अंकों की कुल संख्या गिनकर गुणनफल में दाईं ओर से उतने अंकों के बाद बिंदु लगाएँ। भाग वाले प्रश्नों में भाजक को पूर्ण संख्या बनाने के लिए भाज्य और भाजक दोनों को 10, 100 या 1000 से गुणा करने का अभ्यास करें। अंत में अनुमान लगाकर देखें कि उत्तर उचित है या नहीं।
दशमलव की समझ पैसों के हिसाब तथा लंबाई और भार जैसे मापनों में रोज काम आती है, इसलिए दैनिक जीवन वाले प्रश्नों को विशेष ध्यान से हल करें। भाग 1 के दशमलव वाले अध्याय सहित सभी अध्याय कक्षा 7 गणित एनसीईआरटी समाधान पृष्ठ पर एक साथ दिए गए हैं।
