एनसीईआरटी समाधान कक्षा 8 गणित प्रश्नावली 8.4

बहुपद को बहुपद से गुणा करते समय हमें समान पदों को ढूँढ़ लेना चाहिए और उन्हें मिला लेना चाहिए।
द्विपद को द्विपद से गुणा करना
एक द्विपद (2a + 3b) को दूसरे द्विपद (3a + 4b) से गुणा करते हैं। जैसा कि हमने पहले किया है, वैसे ही गुणन के वितरण नियम का अनुसरण करते हुए हम इसे भी क्रम से करते हैं।
(3a + 4b) × (2a + 3b) = 3a × (2a + 3b) + 4b × (2a + 3b)
= (3a × 2a) + (3a × 3b) + (4b × 2a) + (4b × 3b)
= 6a² + 9ab + 8ba + 12b²
= 6a² + 17ab + 12b² (क्योंकि ba = ab)
जब हम एक द्विपद का एक द्विपद के साथ गुणन करते हैं, तो हम आशा करते हैं कि 2 × 2 = 4 पद उपस्थित होने चाहिए परंतु इनमें से दो पद समान हैं जिनको एक साथ इकट्ठा कर दिया है और इस प्रकार हमें 3 पद प्राप्त होते हैं।
ध्यान दीजिए एक द्विपद का प्रत्येक पद दूसरे द्विपद के प्रत्येक पद से गुणा होता है।

गुणा कीजिए:
(x – 4), एवं (2x + 3) को
हल:
(i) (x – 4) × (2x + 3) = x × (2x + 3) – 4 × (2x + 3)
= (x × 2x) + (x × 3) – (4 × 2x) – (4 × 3) = 2x² + 3x – 8x – 12
= 2x² – 5x – 12 (समान पदों को जोड़ने पर)

इस गुणन में हमें त्रिपद के प्रत्येक पद को द्विपद के प्रत्येक पद से गुणा करना पड़ेगा। इस प्रकार हमें 3 × 2 = 6 पद प्राप्त होंगे, यदि एक पद को एक पद से गुणा करने पर समान पद बनते हैं, तो प्राप्त पदों की संख्या घटकर पाँच या उससे भी कम हो सकती है।
(a + 7) (a² + 3a + 7) = a × (a² + 3a + 5) + 7 × (a² + 3a + 5) वितरण नियम के उपयोग से
= a³ + 3a² + 5a + 7a² + 21a + 35
= a³ + (3a² + 7a²) + (5a + 21a) + 35
= a³ + 10a² + 26a + 35 (अंतिम परिणाम में केवल 4 पद)

सरल कीजिए: (a + b) (2a – 3b + c) – (2a – 3b) c
हल:
हमें प्राप्त है: (a + b) (2a – 3b + c) = a (2a – 3b + c) + b (2a – 3b + c)
= 2a² – 3ab + ac + 2ab – 3b² + bc
= 2a² – ab – 3b² + bc + ac
(ध्यान दीजिए -3ab एवं 2ab समान पद हैं।)
और (2a – 3b) c = 2ac – 3bc

इसलिए, (a + b) (2a – 3b + c) – (2a – 3b) c = 2a² – ab – 3b² + bc + ac – (2ac – 3bc)
= 2a² – ab – 3b² + bc + ac – 2ac + 3bc
= 2a² – ab – 3b² + (bc + 3bc) + (ac – 2ac)
= 2a² – 3b² – ab + 4bc – ac