एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 5.3

एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 5.3 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण के हल सीबीएसई सत्र 2022-2023 के लिए विद्यार्थी यहाँ से डाउनलोड करें। कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 5.3 के अभ्यास के लिए छात्र यहाँ दी गई पीडीएफ और विडियो का प्रयोग करके इसे आसान बना सकते हैं।

एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 5.3

द्विघातीय समीकरण

हमें पहले ही द्विघातीय समीकरणों के बारे में जानकारी है और हमने उनको वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में उन स्थितियों में हल किया है जहाँ विविक्तकर ≥ 0 है। अब हम निम्नलिखित द्विघातीय समीकरण के बारे में विचार करते हैंः
ax² + bx + c = 0 जिसमें a, b, c वास्तविक गुणांक हैं और a ≠ 0
मान लीजिए कि b² – 4ac < 0
सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय में ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के वर्गमूल निकाल सकते हैं। इसलिए उपर्युक्त समीकरण के हल सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय में हैं जोकि
X = {- b ± √(b² – 4ac)}/2a = {- b ± √(4ac – b²)i}/2a द्वारा प्राप्त होते हैं।

टिप्पणी:
एक बहुपद समीकरण का कम से कम एक मूल होता है। इस प्रमेय के फलस्वरूप हम निम्नलिखित महत्त्वपूर्ण परिणाम पर पहँचते हैं। n घात की एक बहुपद समीकरण में n मूल होते हैं।

अभ्यास के लिए प्रश्न

x² + 2 = 0 को हल कीजिए।
हल:
हमें दिया है x² + 2 = 0
या x² = – 2
अर्थात् x = ± √(-2) = ± √2 i

x² + x + 1= 0 को हल कीजिए।
हल:
यहाँ b² – 4ac = 1² – 4 × 1 × 1 = – 3
इसलिए, इसके हल x = {- 1 ± √(-3)}/(2 × 1) = {- 1 ± √(3)i}/2 हैं।

महत्वपूर्ण प्रश्नों के हल

√5 x² + x + √5 = 0 को हल कीजिए।
हल:
यहाँ, समीकरण का विविक्तकर b² – 4ac = 1² – 4 × √5 × √5 = 1 – 20 = – 19 है।
इसलिए, इसके हल x = {- 1 ± √(-19)}/(2 × √5) = {- 1 ± √(19)i}/2√5 हैं।

कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 5.3 के लिए स्मरणीय तथ्य

स्मरणीय तथ्य:
1. a + ib के प्रारूप की एक संख्या, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं, एक सम्मिश्र संख्या कहलाती है, a सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग और b इसका काल्पनिक भाग कहलाता है।
2. माना z₁ = a + ib और z₂ = c + id, तब
(i) z₁ + z₂ = (a + c) + i (b + d),
(ii) z₁ × z₂ = (ac – bd) + i(ad + bc)
3. सम्मिश्र संख्या z = a + ib का संयुग्मी z̅ द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है और z̅ = a – ib द्वारा दर्शाया जाता है।
4. सम्मिश्र संख्या z = x + iy का ध्रुवीय रूप r (cos θ + i sin θ), है, जहाँ r = √(x² + y²) (z का मापांक) और cos θ = x/r, sin θ = y/r (θ, z का कोणांक कहलाता है।) θ का मान, जिससे कि – π < θ ≤ π, z का प्रमुख कोणांक कहलाता है।
5. एक n घातवाले बहुपद समीकरण के n मूल होते हैं।

एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 5.3 सम्मिश्र संख्याएँ
एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 5.3
कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 5.3