एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 6.6

एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित अध्याय 6 प्रश्नावली 6.6 त्रिभुज के सभी प्रश्नों के हल सीबीएसई सत्र 2022-2023 के लिए यहाँ से प्राप्त किए जा सकते हैं। कक्षा 10 गणित की ऐच्छिक प्रश्नावली 6.6 न केवल सीबीएसई बल्कि अन्य राजकीय बोर्ड के लिए भी उपयोगी हैं। यहाँ दिए गए पीडीएफ तथा विडियो की मदद से छात्र प्रश्नों को आसानी से समझकर बोर्ड परीक्षा में अच्छे अंक अर्जित कर सकते हैं।

एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित अध्याय 6 प्रश्नावली 6.6

पाइथागोरस प्रमेय का विलोम

पाइथागोरस प्रमेय का विलोम बताता है कि “यदि किसी त्रिभुज की तीसरी भुजा का वर्ग उसकी दो छोटी भुजाओं के योग के बराबर हो, तो वह एक समकोण त्रिभुज होना चाहिए”। पाइथागोरस प्रमेय का विलोम, पाइथागोरस का मुख्य प्रमेय है।

प्रमेय 6.9

यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो तो पहली भुजा का सम्मुख कोण समकोण होता है।
यहाँ हमें त्रिभुज ABC दिया है जिसमें AC² = AB² + BC² है
हमें सिद्ध करना है कि ∠ B = 90° है।
इसके लिए एक त्रिभुज PQR की रचना करते हैं जिसमें ∠ Q = 90⁰, PQ = AB और QR = BC
अब, त्रिभुज PQR से हमें प्राप्त है:
PR² = PQ² + QR² (पाइथागोरस प्रमेय से, क्योंकि ∠Q = 90⁰)
या PR² = AB² + BC² (रचना से) (1)
परंतु AC² = AB² + BC² (दिया है) (2)
अतः AC = PR (समीकरण 1 और 2 से) (3)

अब, त्रिभुज ABC और त्रिभुज PQR में
AB = PQ (रचना से)
BC = QR (रचना से)
AC = PR (सिद्ध किया जा चुका है)
अतः ∆ ABC ≅ ∆ PQR (SSS सर्वान्ग्समता)
इसलिए ∠ B = ∠ Q (CPCT)
परन्तु ∠ Q = 90⁰ (रचना से)
अतः ∠ B = 90°
इस प्रकार सिद्ध हो गया कि त्रिभुज ABC एक समकोण त्रिभुज है।

उदाहरण

एक सीढ़ी किसी दीवार पर इस प्रकार टिकी हुई है कि इसका निचला सिरा दीवार से 2.5 m की दूरी पर है तथा इसका ऊपरी सिरा भूमि से 6 m की ऊँचाई पर बनी एक खिड़की तक पहुँचता है। सीढ़ी की लंबाई ज्ञात कीजिए।

उदाहरण का हल

मान लीजिए AB सीढ़ी है तथा CA दीवार है जिसमें खिड़की A पर है।
साथ ही BC = 2.5 m और CA = 6 m है।
पाइथागोरस प्रमेय से हमें प्राप्त होता हैः
AB² = BC² + CA²
= (2.5)² + (6)²
= 42.25
अतः AB = 6.5
इस प्रकार, सीढ़ी की लम्बाई 6.5 m है।

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